Логаритмични уравнения и изрази.

[Б.А.]

Да се пресметне:

1) log₁₂18.log₂₄54 + 5(log₁₂18 - log₂₄54)

Да се реши уравнението:

2) log₂(log _{[tex]\frac{1}{ 2}[/tex]}(log₉x))=0

3) log₂x + log₅x = log₅10

В момента се подготвям върху логаритми и на тези задачки леко запънах Знам свойствата ,но така да се каже, нямам голям опит с логаритмите. Помогнете с решаването им.

[Реклама]

[Garoll]

Не мога повече.Аре някой да ми каже как се правят логаритми с LaTeX.Ще реша задачите.
Така май го научках начина.Значи за третата задача измислих едно решение, не знам дали е най-доброто.
[tex]log_{2}x+log_5{x}=log_{5}10[/tex]

[tex]\frac{1}{log_{x}2}+ \frac{1}{log_{x}5}=log_{5}10[/tex]

[tex]\frac{log_{x}10}{log_{x}2.log_{x}5}=log_{5}10[/tex]

[tex]\frac{log_{2}10}{log_{x}5}=log_{5}10[/tex]

[tex]log_{2}10=\frac{log_{5}10}{log_{5}x} [/tex]

[tex]log_{2}10=log_{x}10[/tex]

[tex]\frac{1}{log_{10}2}=\frac{1}{log_{10}x}[/tex]

[tex]x=2[/tex]

Май е това.

[cub]

[tex] log_{2} (log_{\frac{1}{ 2}} (log_{9}x)=0[/tex]
[tex] log_{\frac{1}{ 2}} (log_{9}x)=1[/tex]
[tex] log_{9}x=\frac{1}{ 2} [/tex]
[tex] x=\sqrt{9}=3[/tex]

Garoll, това е отговорът на 3-та, само се чудя дали не трябва да кажем, че x=1 не е решение, за да преминем към втория ред.

[Garoll]

И аз не съм сигурен за това.Нека някой , който знае да каже.И нека го каже за по общ случай , ако може.
Подобни ситуации се срещат при универсалната субституция.Там нали се предполага , че
[tex]x\ne (2k+1)\pi , k \in Z[/tex] и винаги заместваме с тях в уравнението да видим дали са решение ,или не.Ако са решение , то те са решение на даденото уравнение.Би трябвало и тук да е така , т.е. мисля , че ако 1 беше решение , то щеше да се зачита.

[r2d2]

Доколкото разбирам, правим полагане(преобразуване) което стеснява Дефиниционното множество.
Трябва да се аргументираме защо не губим корени!
А ако губим трябва да ги намерим преди полагането(преобразуването)
За задачата на Garoll.
Ред 1: Ясно, е че х=1 не е решение. и т.н.
И все пак един съвет не минаваите към лог. с основа неизвестно. Убеден съм, че и тази зад. може да се реши ако минем към основа 2 (например).
Ценен съвет, особено при неравенства.

[cub]

аз я решавах така

[tex]log_{2}x+log_{5}x=log_{5}10[/tex] [tex] / log_{2}5[/tex]
[tex]log_{5}x+log_{5}x.log_{5}2=log_{5}10.log_{5}2[/tex]
[tex]log_{5}x=log_{5}2[/tex]

[Garoll]

Много по-добро решение.
А все пак ,r2d2 ,честно да кажа ,не разбрах напълно какво написа.Сигурно имаш впредвид този ред [tex]\frac{1}{log_{x}2}+ \frac{1}{log_{x}5}=log_{5}10[/tex] ,който е втори , защото от първия не следва , че 1 не е корен.(И аз не целя да се заям , а да уточним всичко).Ясно е , че решението на cub e по-доброто,но да речем , че някои си я решава като мен , прави такива преобразования, а в задачата излиза накрая , че 1 е възможно решение.Ти доколкото разбрах , казваш , че едно не трябва да се включва в окончателните решения , което не ми е пределно ясно и затова давам пример с тригонометрията , където какато написах, че пак предполагаме някакви неща , но ако са решение , то си ги пишем.Ще си довърша поста като се върна от училище.

[ганка симеонова]

[Garoll]

За това не съм сигурен, но защо трябва да го додефинирам при положение , че задачата може да се реши и по друг начин , в който не е обходимо това дефиниране.Това не е ирационално уравнение , че да трябва постоянно да дефинирам страните да се неотрицателни като повдигам.Не знам, струва ми се , че правилното е да спомена , че [tex]x\ne 1[/tex] , но ако е решение на уравнението - като направя проверка получавам равенство , то то си е решение.Например , ако имаме задачата [tex](x-6)=0[/tex](начален израз) и решаваме да умножим с [tex]\frac{x-6}{x-6 }[/tex] (Давам пример с тоя прост пример - може да се случи да има задача - някоя по сложна , в която се налага умножаване и делене с подобен израз - този израз трябва да е различен от 0 разбира се.)И какво получаваме [tex]\frac{(x-6)(x-6)}{ x-6}=0[/tex], което няма решение , но като заместим с 6 в началното уравнение --> получаваме равенство.Тоест мисълта ми е , че в решението на дадена задача може да се правят много ограничения , но ако за тях задачата се получава , нима те не са решения?
Ясно е , че някои ще ми кажат не можеш да умножаваш с този израз , защото е ясно , че 6 е корен и т.н. . Но говоря за задача , в която не се вижда просто така кои са корените.

П.П. Възможно е да съм написал огромна глупост.

[ганка симеонова]

опасявам се, че така
сори, но дори и да не работиш с ДС, пак като заместиш х=1 в първоначалното уравнение, няма да получиш вярно числово равенство
[tex] log_{2}1 +log_{5}1=0+0=0 \ne log_{5}10 [/tex]

[Garoll]

Добре де, все пак не говоря за тая задача конкретно.Говоря за общия случай.Ясно е , че тук не е решение.Имам впредвид задача , в която е решение , но го изклучваме , защото сме я решили с такива преобразования.
Тоест Някаква си задача , в която правя същото преобразование Х да основа.Дефинирам , че [tex]x\ne 1[/tex] получавам отговори 1 и 2.Би трябвало да изключа 1 , но то е решение на първоначалното уравнение.Ето такъв случай имам впредвид.
И като за край - според мен в този случай [tex]x=1[/tex]си е решение.

[ганка симеонова]

ако едно число е изключено, като решение поради някакви предварителни ограничения, то никога не може да е решение!!!!!!!!!!!!!
никога не би издържало проверката!!!!!!

[Garoll]

С риск да се повторя

[ганка симеонова]

ти ме застреля!!!!!!
след като [tex] x\ne (1+2k)\pi [/tex] никога, ама никога няма да се окаже решение!!!

[Garoll]

Винаги , когато се извършва универсалната смяна се предполага , че [tex]x\ne (2k+1)\pi,k\in Z[/tex], и ако числата [tex]x=(2k+1)\pi[/tex]са решения на даденото уравнение , то тези решения се губят.Ето защо , при тази смяна трябва да се извърши проверка дали числата [tex]x=(2k+1)\pi [/tex] са решения на даденото уравнение.
Става въпрос за Тригонометрични уравнения , които се свеждак към уравнение на [tex]tg\frac{x}{2 }[/tex] от формулите [tex]sinx=\frac{2tg\frac{x}{ 2} }{ 1+tg^{2}\frac{x}{ 2} }[/tex] и другата за косинуса.
Айде реши [tex]2sinx-1=cosx[/tex] с "универсалната смяна" и ми кажи дали [tex]x=(2k+1)\pi [/tex] е решение?

[ганка симеонова]

какво значи за теб проверка? за мен значи да погледна в ДС, ако съм работила с такава и да установя принадлежност или не!!!!!!!!!!!!!!!!!!
хау!

[Garoll]

Проверка за мен значи да заместя Х с получен отговор и ако този отговор удовлетворява уравнението(няма значение),то той е решение.Дори да е изключен в някакъв момент на решаване.Както се опитвам да обясня за логаритъма.Дефинирам [tex]x\ne 1[/tex] - проверявам като заместя Х с едно.Ако е решение - решение е.Ако не - Не е решение.
ДС се определят в началото , а не постоянно.

[ганка симеонова]

[Garoll]

Пфф...както и да е.Би ли решила това тригонометрично уравнение?Кажи ми какви отговори получаваш.

[ганка симеонова]

най- малкото няма да го реша с тазаи субстисуция
[tex] 4sin\frac{x}/{2 }cos\frac{x}/{2 }-sin^{2}\frac{x}{2 }-cos^{2}\frac{x}{2 }=cos^{2}\frac{x}{2 }-sin^{2}\frac{x}{ 2} [/tex]
[tex] 4sin\frac{x}/{2 }.cos\frac{x}/{2 }-2cos^{2}\frac{x}{2 }=0[/tex]
[tex]2cos\frac{x}/{ 2}(2sin\frac{x}/{2 }-cos\frac{x}/{2 })=0 [/tex]
от първото получаваме [tex] x=(2k+1)\pi [/tex]
от второто:
[tex] x=2arccotg2+2k\pi [/tex]
сори за лошото изписване за деление на аргумента, но понякога ЛАТЕКС не иска да ми изписва деление специално при триг. функции

[Garoll]

Е...То въпросът беше да го решиш с тази субституция,защото точно там имаме такъв случай , за какъвто говоря...

[Infernum]

[ганка симеонова]

много ти благодаря, Infernum