Задачка

[borku]

25. Три цели положителни числа образуват геометрична прогресия. Първият член е с единица по-малък от втория. Да се намери третият член на прогресията


Отг: 4; Въпрос: Защо!?

[Реклама]

[Methuselah]

Да предположим, че първият член е х (х-цяло). Тогава вторият е х+1.
тогава третият е (х+1)(х+1)/х защото частното на геом прогресията е (x+1)/x
тогава за да бъде (х+1)(х+1)/х цяло число трябва х да дели х+1, а това е изпълнено само за х=1.

[borku]

как разбираме, че е изпълнено само за х=1 ?

[Methuselah]

Трябва цялото число n да дели числото n+1.
Toва означава, че съществува цяло число p такова че n.p=n+1
p=1 не става. Ако p=2 имаме 2n=n+1 т.е. n=1 и всичко е ок.
Ако p>2 получаваме, че (p-1)n=1 т.е. n=1/(p-1) т.е. n не е цяло.

[soldier_vl]

Няма други поредни числа освен 1 и 2, за които като се раздели по-голямото на по-малкото да се получи пак цяло число

[Garoll]

[tex]a,aq,aq^{2}[/tex]
[tex]a+1=aq[/tex]
[tex]1=a(q-1)[/tex]
[tex]a=\frac{1}{q-1}[/tex] - Ето тук е тънкостта.
[tex]a=1[/tex]
[tex]q-1=1[/tex]
[tex]q=2[/tex]
[tex]aq^{2}=4[/tex]