За Кандидат-студенти и по напреднали

[Garoll]

Ето ви едно ирационално уравнение.Кажете какво мислите за него.Дайте примерни решения.От сега казвам , че е трудничко.

[tex]\sqrt{\frac{1+2x\sqrt{1-x^{2}} }{2}} +2x^{2}=1[/tex]

[Реклама]

[ганка симеонова]

под първия корен прибавяме и изваждаме [tex] x^{2}[/tex] и така отделяме точен квадрат

[Garoll]

Не знам дали ще се получи нещо така.Кажи какви отговори получаваш?
Дори да е точен квадрат какво от това?Мисля , че задачата не може да се реши с това прибавяне и изваждане...

[garion]

[Garoll]

По принцип да - не споря.Но в случая?

[ганка симеонова]

[tex] x=-\frac{\sqrt{2} }{2 } [/tex]
много сладка задача. ето отговора. помисли още малко, ако не успееш, ще постна решение. разковничето е, в точния квадрат

[Garoll]

Хммм...Добре.Аз задачата знам как се решава и наистина това е единият корен.Обаче има и друг .В събота съм на изпит в ТУ и аз мога да напиша едно решение , но след събота , защото имам да преговарям някои неща за функциите.Решението , което имам е доста сложно и с него се намира и другият корен.За информация
[tex]x_{2}=\frac{\sqrt{6} -\sqrt{2} }{4}[/tex]
И все пак забелязах , че обичаш да смяташ дефиниционно множество първо от едно друго ирационално уравнение.Тааа...виш може и тук да помогне и то много.И още 1 жокоер
[tex]\frac{\sqrt{6} -\sqrt{2} }{4}[/tex] е число , което си срещала и преди...помисли къде ако не се сетиш веднага.

[ганка симеонова]

след отделяне на точен квадрат и оставяне на корана сам, в лявата страна получаваме:
[tex] \sqrt{\frac{(\sqrt{1-x^{2}}+x)^{2} }{2 } }=1-2x^{2} ; x\in [-\frac{\sqrt{2} }{2 };\frac{\sqrt{2} }{2 }][/tex]
[tex] \sqrt{\frac{(\sqrt{1-x^{2}}+x)^{2} }{2 } }=(1-x^{2})-x^{2} [/tex]
[tex] sqrt{\frac{(\sqrt{1-x^{2}}+x)^{2} }{2 } }=(\sqrt{1-x^{2}})^{2}- x^{2} [/tex]
спокойно можем да махнем корена в ляво без модул (защо?) и получаваме:
[tex]\frac{(\sqrt{1-x^{2}}+x) }{\sqrt{2} }=(\sqrt{1-x^{2}}-x)( \sqrt{1-x^{2}}+x)[/tex]
остава да прехвърлиш дясно при ляво и да разложиш на множители. получаваш две уравнения, съвсем решими.
корени:
[tex] -\frac{\sqrt{2} }{2 } ; \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2} }{4 } [/tex]

[Garoll]

Добре,Добре щом получи и другия корен браво за решението.Ясно е защо няма модул - за всяко X от ДМ изразът е неотрицателен.Както казах ще напиша моето решение,което е с полагане според ДМ и тригонометрия.Иначе твоето решение е доста по кратко - сигурно хората са имали впредвид него.Браво!

[ганка симеонова]

значи, ако реша да изкарам още едно висше, имам шанс за изпита?

[Garoll]

Добре,Какво засегна ли се нещо?Просто казах , че нямам време да пиша решение , защото съм на изпит,нищо друго..както и да е.Не съобразих някои хитрости в твоето решение за това казах , че АЗ не се сещам.

[ганка симеонова]

хей, май доста си напрегнат.. нормално е.. аз просто се пошегувах
пожелавам ти много успехи!
на всички пожелавам успех!

[Garoll]

qasd

[Garoll]

Ето го въпросното решение с тригонометрия , за което говорех.

[tex]\sqrt{\frac{1+2x\sqrt{1-x^{2}} }{2 } }+2x^{2}=1[/tex]

[tex]D.M. 1-x^{2}\ge 0[/tex]
[tex]x^{2}-1\le 0[/tex]
[tex](x-1)(x+1)\le 0[/tex]
[tex] x\in [-1;1][/tex]

[tex]1+2x\sqrt{1-x^{2}} \ge 0[/tex]
[tex]2x\sqrt{1-x^{2}}\ge -1[/tex]
Ако [tex]x\ge 0[/tex] , то неравенството е вярно за [tex]x\in [0;1][/tex]
Нека [tex]x\in [-1;0][/tex]
[tex]2x\sqrt{1-x^{2}}\ge -1 /-1 [/tex]
[tex]-2x\sqrt{1-x^{2}}\le 1[/tex]
[tex]4x^{2}(1-x^{2})\le 1[/tex]
[tex]4x^{4}-4x^{2}+1\ge 0[/tex]
[tex](2x^{2}-1)^{2}\ge 0[/tex]
[tex]D.M. x\in [-1;1][/tex]


[tex]\sqrt{\frac{1+2x\sqrt{1-x^{2}} }{2 } }=1-2x^{2}[/tex]
Търсим решения x , за които:
[tex]1-2x^{2}\ge 0[/tex]
[tex]2x^{2}-1\le 0[/tex]


[tex]x\in [-\frac{\sqrt{2} }{2 } ;\frac{\sqrt{2} }{ 2}] [/tex]

Полагаме [tex]x=sint[/tex]
[tex]t\in [-\frac{\pi }{ 4};\frac{\pi }{ 4} ] [/tex]
[tex]\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-sin^{2}t} =\sqrt{cos^{2}t} =|cost|=cost[/tex]

[tex]\sqrt{\frac{1+2sintcost}{ 2} } =1-sin^{2}t[/tex]

[tex]\sqrt{\frac{1+sin2t}{2 } } =cos2t[/tex]
[tex]\frac{1+sin2t}{2 } =cos^{2}2t[/tex]
[tex]1+sin2t=2(1-sin^{2}2t)[/tex]
[tex]2sin^{2}2t+sin2t-1=0[/tex]
[tex]sin2t=y , y\in [-1;1][/tex]
[tex]2y^{2}+y-1=0[/tex]
[tex]y_{1}=-1 , y_{2}=\frac{1}{ 2} [/tex]
[tex]sin2t=-1[/tex]
[tex]2t=-\frac{\pi }{2}+2k\pi [/tex]
[tex]t=-\frac{\pi }{ 4}+k\pi [/tex] ; [tex]k\in Z[/tex]
[tex]sint=sin(-\frac{\pi }{ 4} )=-\frac{\sqrt{2} }{2 } [/tex]
За [tex]k=\mp 1,\mp 2[/tex] се получават ъгли извън интервала [tex][-\frac{\pi }{ 4}; \frac{\pi }{ 4}][/tex]

[tex]sin2t=\frac{1}{2 } [/tex]
[tex]2t=\frac{\pi }{ 6} +2n\pi => t=\frac{\pi }{12 } +n\pi [/tex] [tex]n\in Z[/tex]

[tex]2t=\frac{5\pi }{6 } +2m\pi => t= \frac{5\pi }{12 } +m\pi [/tex] [tex]m\in Z[/tex]
[tex]\frac{\pi }{12}\in [-\frac{\pi }{ 4};\frac{\pi }{ 4} ] [/tex][tex]k\ne 0[/tex] не принадлежи.
[tex]\frac{5\pi }{12 } +m\pi \notin [-\frac{\pi }{ 4};\frac{\pi }{ 4} ] [/tex]
[tex]t=\frac{\pi }{12 } =15^\circ [/tex]
[tex]x=sint=sin15=sin(45-30)=[/tex]
[tex]sin45cos30-cos45sin30=[/tex]
[tex]=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2} }{ 4} [/tex]