Доста интересна и нестандартна задача

[uktc]

Задачата не е никак лесна, но с логическо мислене всичко се постига . Опитайте. И така, ето я и нея:

[/code]

[Реклама]

[Tony_89]

sin(3*x) = a*sin(x) + (4 – 2*|a|)*sin(x)^2
sin(3*x) + cos(2*x) = 1 + 2*sin(x)*cos(2*x)

Всички решения на първото уравнение са решения и на второто и обратно, когато решенията на двете уравнения са еднакви.
Нека да разгледаме второто уравнение:

sin(3*x) + cos(2*x) = 1 + 2*sin(x)*cos(2*x)
3*sin(x) – 4*sin(x)^3 + 1 – 2*sin(x)^2 = 1 + 2*sin(x)*(1 – 2*sin(x)^2)
3*sin(x) – 4*sin(x)^3 – 2*sin(x)^2 = 2*sin(x) – 4*sin(x)^3
2*sin(x)^2 – sin(x) = 0
sin(x)*(2*sin(x) – 1) = 0
sin(x) = 0 или sin(x) = ½

А сега първото:

sin(3*x) = a*sin(x) + (4 – 2*|a|)*sin(x)^2
3*sin(x) – 4*sin(x)^3 = a*sin(x) + (4 – 2*|a|)*sin(x)^2
4*sin(x)^3 + (4 – 2*|a|)*sin(x)^2 + a*sin(x) – 3*sin(x) = 0
sin(x)*(4*sin(x)^2 + (4 – 2*|a|)*sin(x) + a – 3) = 0
sin(x) = 0 или 4*sin(x)^2 + (4 – 2*|a|)*sin(x) + a – 3 = 0 =>
=> Решенията на двете уравнения са еднакви, когато уравнението
4*sin(x)^2 + (4 – 2*|a|)*sin(x) + a – 3 = 0 дава единствено
решение sin(x) = ½
4*sin(x)^2 + (4 – 2*|a|)*sin(x) + a – 3 = 0
D = (4 – 2*|a|)^2 – 4*4*(a – 3) = 16 – 16*|a| + 4*a^2 – 16*a + 48 =
= 4*a^2 – 16*|a| - 16*a + 64 = 4(a^2 – 4*|a| - 4*a + 16)
D = 0
4(a^2 – 4*|a| - 4*a + 16) = 0 /:4
a^2 – 4*|a| - 4*a + 16 = 0
4*|a| = a^2 – 4*a + 16
a^2 – 4*a + 16 = a^2 – 4*a + 4 + 12 = (a – 2)^2 + 12 > 0
4*|a| = a^2 – 4*a + 16
I случай: a >= 0
4*a = a^2 – 4*a + 16
a^2 – 8*a + 16 = 0
(a – 4)^2 = 0
a – 4 = 0
a = 4
II случай: a < 0
-4*a = a^2 – 4*a + 16
a^2 + 16 = 0 =>
=> н.р.
D = 0 при a = 4
sin(x) = -b/(2*a) = -(4 – 2*|a|)/2*4 = (2*|a| - 4)/8 = (|a| - 2)/4 =
= (|4| - 2)/4 = ½ =>
=> При а=4 е изпълнена задачата

[uktc]

Добре разсъждаваш, но ето тук направи голяма грешка:

[Tony_89]

4*sin(x)^2 + (4 – 2*|a|)*sin(x) + a – 3 = 0
D = 4*(a^2 – 4*|a| - 4*a + 16)
D = 0 при a=4 и D > 0 при a E (-∞;4) или (4;+ ∞)
sin(x)1,2 = (-(4 – 2*|a|)+-SQRT(4*(a^2 – 4*|a| - 4*a + 16)))(2*4)=
=(|a|-2 +- SQRT(a^2 – 4*|a| - 4*a + 16))/4
Разбрах, че a=4 е решение на задачата, но може би и решенията на следните две системи също са:
|sin(x)1 = ½
|sin(x)2 E (-∞;-1) или (1;+ ∞)

|sin(x)2 = ½
|sin(x)1 E (-∞;-1) или (1;+ ∞)

Решението на първата е a E (5;+ ∞), на втората – a E [0;1) =>
=> a E [0;1) или {4} или (5;+ ∞)

[uktc]

[Tony_89]

10x постарах се

[DevilFighter]

Аз защо получавам за решения само а=0, а=3 и а=4.Не мога да разбера от къде ви идват тези системи.Положил съм sinx = t , t E [-1;1]
Решенията на 1то уравнение ми са t = 0 , t = 1/2

За 2то уравнение имам :
4t² + (4 - 2|a|)t + a - 3 = 0

1сл. а < 0 => |a| = -a

4t² + (4 + 2a)t + a - 3 = 0
4t² + 2(a + 2)t + a - 3 = 0
D = a² + 16 ,което е > 0 за всяко а.
при t = 1/2 => 2a - 1 = 0 => a = 1/2
при t = 0 => a = 3 които не са решения при този случай.

2ри сл. а> 0 => |a| = a

4t² + (4 - 2a)t + a - 3 = 0
D = (a-4)² >= 0 за всяко а
при t = 0 => a=3
при t = 1/2 => 0=0
и вижам,че има решение при а=4 => (2t-1)² = 0 => t= 1/2

3ти сл. а = 0 => 4t² + 4t - 3 = 0 = > t1 = 1/2 , t2 = -2-не е решение.
Това ми е решението като си разглеждам стандартно модула.
Отг: а=0,а=3,а=4
Има ли още нещо за разглеждане ?

[Tony_89]

Корените на второто уравнение са sin(x) = 0 и sin(x) = 1/2
От първото уравнение получаваме:

sin(x) = 0 или 4*sin(x)² + (4 - 2*|a|)*sin(x) + a - 3 = 0 =>

=> всички решения на първото уравнение са решения и на второто и обратно при тези случаи:

I случай:

Дискриминантата на 4*sin(x)² + (4 - 2*|a|)*sin(x) + a - 3 = 0 е 0 и единственият корен на това уравнение е sin(x) = 1/2

II случай:

Дискриминантата на 4*sin(x)² + (4 - 2*|a|)*sin(x) + a - 3 = 0 е по-голяма от 0, но
едното решение за sin(x) е 1/2, а другото не принадлежи на интервала [-1;1], т.е. другото не е решение

III случай:

Дискриминантата на 4*sin(x)² + (4 - 2*|a|)*sin(x) + a - 3 = 0 е по-голяма от 0 и
уравнението дава корени sin(x) = 1/2 и sin(x) = 0