Тригонометрични уравнения

[Synaptic]

Ох тези уравнения, нещо не мога да ги реша..

6sin² + sinx.cosx - cos² = 2

sin2x + cos2x = [tex]\sqrt{2}[/tex].sin3x

2.sin5x - 3.cos5x = 3

[Реклама]

[r2d2]

За 1. Запиши 2 като [tex]2\sin^2 x+2\cos^2 x[/tex].

За 2. [tex]\sin x +\cos x = \sqrt{2}(\sin x + 45)[/tex]

3а 3. ???

[Garoll]

Какво трябва да значи "3а 3. ???" ?
По късно ще напиша решението на трета.

[Garoll]

[tex]2sin5x-3cos5x=3[/tex]
Забелязваме , че [tex]\sqrt{2^{2}+3^{2}} =\sqrt{13} [/tex].Умножаваме и делим с [tex]\sqrt{13} [/tex] лявата страна на уравнението.Получаваме следното уравнение:
[tex]\sqrt{13} \left( \frac{2}{\sqrt{13} }sin5x-\frac{3}{\sqrt{13} }cos5x\right)=3 [/tex]
Нека [tex]\varphi \in \left( 0,\frac{\pi }{2}\right) [/tex] и sin[tex]\varphi =\frac{2}{\sqrt{13} }[/tex].Тогава пресмятаме cos[tex]\varphi =\frac{3}{\sqrt{13} }[/tex].
Така последното уравнение се преобразува във вида:
[tex] \sqrt{13}\left( sin\varphi sin5x-cos\varphi cos5x\right) =3 /-1 [/tex]
След елементарни преобразования получаваме:
cos[tex]\left(\varphi +5x\right)=-\frac{3}{\sqrt{13} }[/tex].Имаме [tex]cos\varphi =\frac{3}{\sqrt{13} }[/tex].Така получаваме уравнението:
[tex]cos\left(\varphi +5x) + cos\varphi =0[/tex] , което е равно на :
[tex]2cos(\frac{2\varphi +5x}{2})cos(\frac{5x}{2})=0[/tex]
От тук решаваме обикновено тригонометрично уравнение.
От [tex]cos(\frac{2\varphi +5x}{2})=0[/tex] [tex]\frac{2\varphi +5x}{2}=\frac{\pi }{2}+k\pi [/tex] , откъдето [tex]x=\frac{\pi }{5}-\frac{2\varphi }{5} +2k\frac{\pi }{5}[/tex], където [tex]k\in Z[/tex]
От [tex]cos(\frac{5x}{2})=0[/tex]
[tex]\frac{5x}{2}=\frac{\pi }{2} + n\pi[/tex],откъдето
[tex]x=\frac{\pi }{5}+2n\frac{\pi }{5}[/tex],където [tex]n\in Z[/tex]
Това е общо взето.Остава да напишем решенията както си трябва , но нещо ме мързи ,а и имам работа.За първи път работя с LaTeX - може да съм допуснал някаква грешка при пресмятанята - не знам.Ако е така поправете ме.