Трапец

[simon_kazakov]

Даден е трапец с основи а и b, бедра m и n и диагонали d1,d2. Докажете, че:
[tex]d1^2 + d2^2=m^2 + n^2 + 2ab[/tex]
Имам някаква идея, но ми се струва много грозна и Ви моля за по интелигентно решение.
Ето и какво измътих по тази задача:

т. Е е среда на CD, [tex] ЕH \bot AB.[/tex]
[tex]EP|| AC, EQ||BD, EM||AD, EN||BC[/tex].
Вижда се, че страната PQ=a+b и [tex]\Delta Spqe = Sabcd[/tex]. Смятаме лицето по херонова формула и получаваме лицето на трапеца, изразено чрез d1,d2,a,b.
След това смятаме лицето на [tex]\Delta MNE[/tex] по херонова формула, след което изразяваме EH чрез m,n,a,b ([tex]EH = \frac{2Smne}{MN } [/tex]).
[tex]Sabcd =\frac{AB+CD}{2 }.EH = Spqe [/tex] ...
Ако тръгна това да го решавам е сигурно, че ще изкарам, че равенството не е вярно Други идеи за решение ?

[Реклама]

[ганка симеонова]

построй двете височини, през А и С. изрази от двата прав. триъгълника косинусите, на ъглите при основата. приложи кос. т- ми за диагоналите( за триъгълници ABD и ABC.
сумирай и ще стане

[ганка симеонова]

[tex] \Delta AHC=>cos\alpha =\frac{AH}{AD }=\frac{x}{m } [/tex]
[tex]\Delta FBC=>cos\beta =\frac{FB}{BC }=\frac{y}{n } [/tex]
прилагаме кос. теорема за[tex] \Delta ABD:[/tex]
[tex] d_{2}^{2}=m^{2}+a^{2}-2am.\frac{x}{ m}=m^{2}+a^{2}-2ax [/tex]...(1)
прилагаме кос. теорема за[tex] \Delta ABC:[/tex]
[tex] d_{1}^{2}=n^{2}+a^{2}-2an.\frac{y}{ n}=n^{2}+a^{2}-2ay [/tex]...(2)
събираме (1) и (2) и получаваме:
[tex] d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=m^{2}+n^{2}+2a^{2}-2a(x+y)=m^{2}+n^{2}+2a^{2}-2a(a-b)=m^{2}+n^{2}+2ab [/tex]

[r2d2]

Не вярвах, че ще видя това построение в действие, но...
Нарича се построение на Петерсен (поне така е в сборника на доц. Пачев).
построяваме DF||AC, BE||AC.
BDEF винаги е успоредник, а понеже AB||DC e трапец ДЕ=АВ+ДС.
Нека М е средата на ДЕ. Лесно се съобразява, че СМ=(а-б)/2;ДМ=(а+б)/2

СМ е мед. в CBF [tex]\(a-b)^2 = 2m^2+2n^2-BF^2[/tex]
DM е мед. в DBF [tex](a+b)^2=2d_1^2+2d_2^2-BF^2[/tex]

Като извадим от второто равенство първото, получаваме това, което искахме да докажем!

[деска92]

моля ви които може да ми реши тези задачи
1) Основите на трапец са 4см и 9см а единият мъ диагонал е 6см Да се намерят бедрата мъ ако разликата ми е 2,5см отг. е 5см и 7,5 см о нз как да я реша
2)В трапец ABCD (AB УСПОРЕДНА НА CD) AB =a, CD=b Окръжност минаваща през върховете A, B и C се допира до AD .Да се намери диагоналът AC
отг е koren ot ab no i neq nz kak se re6awa

[ганка симеонова]

първо една забележка: пускай новите задачи в отделни теми!
1 зад. разглеждаме [tex] \Delta ABD[/tex] и [tex]\Delta BDC[/tex]
ще направим отношение на големите и на малките страни в триъгълниците
1)[tex]\frac{AB}{DB }=\frac{9}{6 }=\frac{3}{2 }[/tex]

2)[tex]\frac{DB}{BC }=\frac{6}{4 }=\frac{3}{2 }[/tex]

3)[tex]\angle ABD=\angle BDC[/tex]-кръстни ъгли
тогава двата триъгълника са подобни по 2-ри признак. съставяме пропорция за съответните им страни и получаваме:

[tex] \frac{2,5+c}{ c}=\frac{3}{2 }=>BC=c=5; AD=c+2,5=7,5 [/tex]

[ганка симеонова]

2 зад)
разглеждаме [tex] \Delta ACD[/tex] и [tex]\Delta ABC[/tex]

1)[tex] \angle DAC=\angle ABC[/tex]- първият е периферен, вторият е вписан ъгъл и отсичат една и съща дъга

2) [tex]\angle ACD=\angle CAB[/tex]- кръстни ъгли.

тогава двата триъгълника са подобни по 1-ви признак. правим отношение на страните с/у равните ъгли и получаваме:

[tex]\frac{AC}{AB }=\frac{DC}{AC }=>\frac{d}{a }=\frac{b}{d }=>d^{2}=ab=>d=\sqrt{ab} [/tex]