Мин стойност на сумата от третите степени на катети

[cub]

В правоъгълен триъгълник дължината на хипотенузата е равна на 1. Да се намери най-малката стойност на сумата от третите степени на дължините на катетите.


П.С. Решавам си я с производна, но като сравня с решението, нещо не ми излиза точно същото и не си виждам грешката, а е пред мен

[Реклама]

[Methuselah]

Равнобедрен ли трябва да се получи?

Ааа не. [tex]2(\frac{\sqrt{2} }{2 } )^3<1[/tex]

[cub]

Отг е [tex] \frac{\sqrt{2} }{2 } [/tex], равнобедрен, аз обаче го получавам като макс стойност и нещо трябва да съм оплела

[Methuselah]

Ами толкоз е. Аз пък прочетох условието на задачата с 'максимално' вместо 'минимално' и затова се обърках.
Ако се чудиш - смяташ втора производна, заместваш с корена на първата, и ако стойността е отрицателна - имаш максимум, ако е положителна - имаш минимум.

[r2d2]

[tex]a=\cos x;\; b=\sin x \; x \in (0;90)[/tex]
[tex]a^3+b^3=(\sin x + \cos x)(1 -\sin x \cos x).[/tex]

Полагаме, [tex]\sin x+\cos x = u=\sqrt{2}(\sin (x+45)) \Rightarrow u \in (1,\sqrt{2}][/tex]

[tex]a^3+b^3=u(1-\frac{u^2-1}{2}})=\frac{3u-u^3}{2}=\frac{1}{2}f(u)[/tex]

[tex]f'(u)=3-3u^2[/tex], за [tex]u \in (1,\sqrt{2}][/tex] f(u) намалява или мин. за [tex]u=\sqrt{2}[/tex], т.е. за х=45!

Неравенство м/у средни степенни (много частен случай):
[tex](\frac{x^2+y^2}{2})^{\frac{1}{2}} \le (\frac{x^3+y^3}{2})^{\frac{1}{3}}[/tex]

По-общо: при u<v a_i>0

[tex](\frac{a_1^u+...+a_n^u)}{n})^{\frac{1}{u}} \le (\frac{a_1^v+...+a_n^v)}{n})^{\frac{1}{v}}[/tex]

Като равенство има само когато а_1=...=а_н.

[cub]

Methu, това е резервният вариант да, аз си намерих в крайна сметка един сменен знак, затова ми излиза максимум. Както се надявах r2d2 ми даде не едно, а две алтернативни решения, мерси.

И нещо, за което ме беше подсетил учителят ми по математика, макар и не по темата:

[tex]\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}} {2 } }\ge \frac{a+b}{2 } \ge \sqrt{ab} \ge \frac{2}{\frac{1}{a }+\frac{1}{b } } [/tex]

средно квадратично ≥ средно аритметично ≥ средно геометрично ≥ средно хармочнично

[Lubo]

Ot polaganeto predlozheno ot r2d2:

a = cos(x), b = sin(x)

Zadachata se svezhda do namirane na min za izraza po-dolu:

[tex]cos^{3}(x)[/tex] + [tex]sin^{3}(x)[/tex]

Parvata proizvodna priravnena na 0 dava:

3sin(x)cos(x)[sin(x)-cos(x)] = 0

Tova uravnenie ima reshenie kogato:
1. sin(x) = 0 --> x = 0
2. cos(x) = 0 --> x = 90
3. sin(x) - cos(x) = 0 --> x = 45

Za x = 45 e tarseniyat min.

Lubo