Метод на интервалите

[r2d2]

За кои стойности на а, сумата от дължините на интервалите от решения на:

[tex]\frac{x^2+(2a^2+6)x-a^2+2a-3}{x^2+(a^2+7a-7)x-a^2+2a-3}<0[/tex]
e по-голяма или равна на 1.

Не е от тест за ТУ или УНСС.

[Реклама]

[b1ck0]

[tex]\frac{x^2+(2a^2+6)x-a^2+2a-3}{x^2+(a^2+7a-7)x-a^2+2a-3}<0[/tex]

За уравнението в числителя:
[tex]x^2+(2a^2+6)x-a^2+2a-3 = 0 [/tex]

[tex]D = (2a^2+6)^{2} - 4(-a^2+2a-3) = 4a^{4} + 36 + 24a +4a^{2} - 8a + 12 = 4a^{4} + 28a^{2} -8a +48 = 4(a^{4} + 7a^{2}-2a+12) > 0[/tex]

[tex]x_{1,2} = \frac{-2a^{2}-6 \pm 2\sqrt{(a^{4} + 7a^{2}-2a+12)}}{2}[/tex]

[tex]x\in(-a^{2} -3- \sqrt{(a^{4} + 7a^{2}-2a+12)};-a^{2}-3+\sqrt{(a^{4} + 7a^{2}-2a+12)})[/tex]

-||- в знаменател:
[tex]x^2+(a^2+7a-7)x-a^2+2a-3 = 0[/tex]

[tex]D = (a^2+7a-7)^{2} - 4(-a^2+2a-3) = a^{4} + 7a^{3} - 7a^{2} + 7a^{3} + 49a^{2} -49a - 7a^{2} - 49a +49 +4a^{2} -8a +12 [/tex]

[tex]D = a^{4} + 14a^{3} + 39a^{2} -106a +61 [/tex]

За да има смисъл задачата дискриминантата на знаменателя трябва да е по-малка от нула. т.е. [tex]x\in(-a^{2} -3- \sqrt{(a^{4} + 7a^{2}-2a+12)};-a^{2}-3+\sqrt{(a^{4} + 7a^{2}-2a+12)})[/tex]
трябва да е по-голям или равен на 1:

[tex]-a^{2}-3+\sqrt{(a^{4} + 7a^{2}-2a+12)}-(-a^{2}-3-\sqrt{(a^{4} + 7a^{2}-2a+12)}) \ge 1 [/tex]

[tex]2\sqrt{(a^{4} + 7a^{2}-2a+12)} \ge 1[/tex]

[tex]a^{4} + 7a^{2}-2a+12 \ge \frac{1}{4} [/tex]

[tex]a^{4} + 7a^{2}-2a+11\frac{3}{4} \ge 0 [/tex]

r2d2 имах желание да реша задачата, но явно съм объркал някъде, защото такива уравнения не мога да решавам ( както Maple и MathCAD )

[r2d2]

Това не е сериозно!

[ганка симеонова]

[tex] a\in (-\infty ;3]\cup [4; +\infty )[/tex]

[ганка симеонова]

т.к. свободния коефициент за числителя и знаменателя [tex] -a^{2}+2a-3<0 [/tex] за всяко а, то двата квадратни тричлена имат корени с различни знаци. нака корените на числителя означим с [tex] x_{1}<0; x_{2}>0 [/tex], а на знаменателя- с [tex] y_{1}<0; y_{2}>0 [/tex]
ще пресметна разликата м/у първите координати на върховете на параболите, на числителя и знаменателя:
[tex] -2a^{2}-6+a^{2}+7a-7=-a^{2}+7a-13<0 [/tex] , за всяко а. това означава, че върхът на числителя е по- наляво, от върха на знаменателя. тогава корените ще са разположени на числовата ос, както следва:
[tex] x_{1}; y_{1}; x_{2}; y_{2} [/tex]
и по МИ неравенството, ще е изпълнено за [tex] a\in (x_{1}; y_{1})\in (x_{2}; y_{2}) [/tex]
тогава сумата от дължините на интервалите искаме да е по- голяма или равна от 1=>
[tex] |y_{1}-x_{1}|+|y_{2}-x_{2}|\ge 1 [/tex]
според наредбата в/у числовата ос следва, че двете подмодулни величини са положителни. тогава:
[tex]y_{1}-x_{1}+y_{2}-x_{2}\ge 1 [/tex]прилагаме формулите на виет и получаваме:
[tex] -a^{2}-7a+7+2a^{2}+6\ge 1[/tex]
[tex]a^{2}-7a+12\ge 0 =>a\in (-\infty ;3]\cup [4;+\infty ) [/tex]

[r2d2]

[b1ck0]

Това че единият връх е в ляво спрямо другия не гарантира че корените ще са разположени точно така ...

[r2d2]

Нека f(x) е числителят с корени x_1,x_2. A g(x) е знаменателят. Пресмятаме g(x_i).
[tex]g(x_i)=g(x_i)-0=g(x_i)-f(x_i)=x_i^2+(a^2+7a-7)x_i-a^2+2a-3-(x_i^2-(2a^2+6)x_i...)[/tex]

или [tex]g(x_i)=-(a^2-7a+13)x_i \; (i=1;2)[/tex]
[tex]a^2-7a+13[/tex] е винаги положително.
х_1<0, значи g(x_1)>0
х_2>0, значи g(x_2)<0
Или корените на g(x) са [tex]x_1<y_1<x_2<y_2[/tex], Q.E.D.

[ганка симеонова]

r2d2, има какво да научи човек от теб!