Разстояние от връх до центъра на вписаната

[r2d2]

Даден е триъгълник, за който α=2β и има страни а и b (нормални означения).
Ако О е центърът на вписаната окръжност намерете АО.

[Реклама]

[ганка симеонова]

АО=а-b

[ганка симеонова]

означаваме:
[tex] AL=LB=l ; CL=a-l [/tex]
[tex] \Delta ALC\approx \Delta BAC =>\frac{CL}{b }=\frac{b}{a }=>CL=\frac{b^{2}}{a } [/tex]
[tex] LB=l=a-\frac{b^{2}}{a }=\frac{a^{2}-b^{2}}{a } [/tex]

прилагаме свойството на ъглополовящата CO=x за [tex] \Delta ACL =>[/tex]

[tex]\frac{AO}{ OL}=\frac{AC}{CL }=>\frac{x}{l-x }=\frac{ab}{b^{2} }=> [/tex]
[tex] x=\frac{al}{a+b }=\frac{a}{a+b }\frac{a^{2}-b^{2}}{a } =a-b [/tex]

[cub]

т.I - център на вписаната, IH= r, т.H [tex]\in[/tex] AB, AI=x
[tex] \frac{a}{sin2\beta } =\frac{b}{ sin\beta } =\frac{c}{sin3\beta } [/tex]

▲АHI: [tex] x^{2}=HI^{2}+AH^{2}[/tex]
[tex] x^{2}=r^{2}+(p-a)^{2}[/tex]
[tex] x^{2}=(sin\beta)^{2} . x^{2}+(p-a)^{2}[/tex]
[tex] x^{2}=\frac{(p-a)^{2}}{ (cos\beta)^{2} } [/tex]
[tex] x= \frac{p-a}{cos\beta } [/tex]

[tex]2(p-a)= b+\frac{sin3\beta . b}{sin\beta } -a[/tex]
[tex] p-a=\frac{b.sin\beta +b.sin3\beta -b.sin2\beta }{ 2sin\beta } [/tex]

[tex]x=\frac{b.sin\beta +b.sin3\beta -b.sin2\beta }{ sin2\beta }[/tex]
[tex] \frac{a}{ b} =\frac{sin2\beta }{sin\beta } [/tex] . [tex]\frac{2cos\beta }{2cos\beta } [/tex]
[tex] \frac{a}{b }=\frac{2.\frac{1}{2 }(cos(2\beta +\beta )+sin(2\beta -\beta ) }{ sin2\beta } [/tex]
[tex] => a=b.\frac{sin\beta +sin3\beta }{sin2\beta } [/tex]

[tex] x=b.\frac{sin\beta +sin3\beta -sin2\beta }{sin2\beta } = a-b [/tex]

edit : толкова време си играх с тази тригонометрия, а като видях решението на ганка симеонова, яд ме хнава, намерих си всички необходими съотношения, но не можах да ги сглобя :/

[r2d2]

Построяваме BD = AI. AIBD e равнобедрен трапец. От <IDC = β разбираме, че ID = BD=IA.
Taka получаваме <CAD=CDA=3β/2, CA=CD.