Отношение на медиани в правоъгълен триъгълник

[simon_kazakov]

Даден е правоъгълен триъгълник ABC. Докажете че [tex]\frac{1}{ 2} < \frac{ma}{mb } <2 [/tex]
Това е второто неравенство:
[tex]\frac{m_a}{m_b } <2[/tex] <=> [tex]m_a - 2m_b <0 [/tex], но [tex]m_a= b^2 - \frac{a^2}{ 4} [/tex] и [tex]m_b= a^2 - \frac{b^2}{ 4} [/tex]. =>
[tex]m_a - 2m_b <0 [/tex] <=> [tex] b^2 - \frac{a^2}{ 4} -2( a^2 - \frac{b^2}{ 4})<0[/tex]
[tex]2b^2-3a^2<0 [/tex]
[tex]2(c^2 - a^2) - 3a^2<0[/tex]
[tex]5a^2 - 2c^2>0[/tex]
Тук разделям на [tex]c^2[/tex], и се получава:
[tex](\frac{a}{c }) ^2 >\frac{2}{5 } [/tex], което очевидно не е вярно за всеки правоъгълен триъгълник.
Къде бъркам ?

[Реклама]

[Spider Iovkov]

При решаване на неравенства с променлива в знаменател не махаш знаменателя, той остава, защото иначе може да се промени множеството от решения.

[simon_kazakov]

Е в случая знаменателят ми е страна на триъгълник, т.е. е винаги положителна, което значи че не влияе върху знака на неравеството.

[b1ck0]

[tex]\frac{m_{a}}{m_{b}} = \frac{sqrt(2b^{2} + 2c^{2} - a^{2})}{sqrt(2a^{2} + 2c^{2} - b^{2})} [/tex]

[tex](\frac{m_{a}}{m_{b}})^{2} =\frac{2b^{2} + 2c^{2} - a^{2}}{2a^{2} + 2c^{2} - b^{2}} [/tex]

[tex](\frac{m_{a}}{m_{b}})^{2} =\frac{2b^{2} + 2a^{2} + 2b^{2} - a^{2}}{2a^{2} + 2a^{2} + 2b^{2} - b^{2}} [/tex]

[tex](\frac{m_{a}}{m_{b}})^{2} =\frac{4b^{2} + a^{2}}{4a^{2} + b^{2} } [/tex]

[tex]\frac{1}{4} < \frac{4b^{2} + a^{2}}{4a^{2} + b^{2} } < 4[/tex]

Аз ще ти покажа как става от едната страна, ти сам ще го направиш от другата ...

[tex]\frac{4b^{2} + a^{2}}{4a^{2} + b^{2} } - 4 < 0 [/tex]

[tex]\frac{4b^{2} + a^{2} - 4(4a^{2} + b^{2})}{4a^{2} + b^{2} } < 0 [/tex]

[tex]\frac{4b^{2} + a^{2} - 16a^{2} - 4b^{2}}{4a^{2} + b^{2} } < 0 [/tex]

[tex]\frac{-15a^{2}}{4a^{2} + b^{2} } < 0[/tex], което е очевадно!

Това, което е казал Emo можеш да си го запишеш като ЗАБЕЛЕЖКА!!

[r2d2]

Хей, Казак ше ме пощуриш!

[tex]m_a^2=b^2+\frac{a^2}{4}[/tex] , а не минус!

[simon_kazakov]

Еххх, ми то от толкоз математика
Питагор ще ми откъсне ушите ако ми види писанията

[b1ck0]

r2d2 Какво имаш в предвид ?

//edit : Разбрах (party)

[simon_kazakov]

Емии като приложиш питагорова теорема за AA₁C, ако AA₁ е медианата ... Аз съм го смятал с минус, и от там ми идва грешката

[r2d2]

Казакът, греши на първи ред.
Аз приемам първия ред за верен и после туман!

П.С. Да смяташ медиани в правоъгълен триъгълник по общата формула е безумно

[b1ck0]

Е да ... ама аз и си намерих формулата, която той е използвал от общата. Просто не я помнех как беше точно ...

//edit: Вижте ми подписа ...