правоъгълен триъгълник???

[prateli]

Зад.1 Намерете катетите на правоъгълен триъгълник ако радиусите на вписаната и описаната окръжност са съответно 1 и 2.5??


Зад.2 В правоъгълен триъгълник медианата към хипотенузата е средно геометрична на катетите му.Намерете периметъра му,ако хипотенузата на триъгълника е 2 корен от 2

[Реклама]

[Tony_89]

зад.1
Нека триъгълникът да е ABC с <ACB = 90*.
Нека вписаната окръжност с център O се допира до AC,BC и AB съответно в P,N и M.
Нека r-радиусът на вписаната окръжност, R-радиусът на описаната окръжност.
<ACB = 90* => AB = 2*R = 5
OP и ON са перпендикулярни на AC и BC =>
=> OPCN – правоъгълник, но OP = ON = r =>
=> OPCN – квадрат =>
=> CP = CN = r = 1
AP = AM, BN = BM => AP + BN = AM + BM = AB = 5
p(ABC) = (AB + AC + BC)/2 = (5 + CP + AP + CN + BN)/2 = 6
p(ABC)*r = S(ABC) = AC*BC/2
AC*BC/2 = 6
AC*BC = 12
AC^2 + BC^2 = AB^2 = 25
|AC*BC = 12
|AC^2 + BC^2 = 25 =>
=> дължините на катетите са 3 и 4
зад.2
Нека триъгълникът да е ABC с <ACB = 90*.
Нека CM – медианата от връх C.
Нека AC = b, BC = a и a>b
AM = BM = AB/2 = SQRT(2)
CM= AB/2 = SQRT(2)
CM = SQRT(a*b) =>
=> a*b = 2
a^2 + b^2 = AB^2 = 8
|a*b = 2
|a^2 + b^2 = 8 =>
=> a = SQRT(4 + 2*SQRT(3)), b = SQRT(4 – 2*SQRT(3))
P(ABC) = a + b + AB =
= SQRT(4 + 2*SQRT(3)) + SQRT(4 – 2*SQRT(3)) + 2*SQRT(2)

[Tony_89]

Отговора на зад.2 може да се опрости:
a = SQRT(4 + 2*SQRT(3)) = SQRT(1 + 2*SQRT(3) + 3) =
= SQRT((1 + SQRT(3))^2) = 1 + SQRT(3)
b = SQRT(4 – 2*SQRT(3)) = SQRT(3 – 2*SQRT(3) + 1) =
= SQRT((SQRT(3) - 1)^2) = SQRT(3) – 1
P(ABC) = a + b + AB = 1 + SQRT(3) + SQRT(3) – 1 + 2*SQRT(2) =
= 2*SQRT(3) + 2*SQRT(2) = 2*(SQRT(3) + SQRT(2))