Интервал от логаритми

[Newbie]

Броят на целите числа, принадлежащи на отворения интервал е?

(log₅32^-1, (log₆24)²)

Доста ми е мътна тази задача, въпреки че стигнах до отговора, затова искам да помоля за добре обяснено решение.

[Реклама]

[ганка симеонова]

[tex] a=log_{5}\frac{1}{32 }<log_{5}\frac{1}{25 }=-2 [/tex]

[tex]b= log_{6}24<log_{6}36=2 =>b^{2}= (log_{6}24)^{2}<4 [/tex]
тогава имаме следната наредба на числовата ос:
[tex] a; -2; -1; 0; 1; 2; 3; b^{2}; [/tex]
значи броят е 6

[administrator]

Едно решение на г-н Шумаров.

Здравей, Йордане!

Пиша ти по конкретен повод от форума за всички посетители.
В раздел „Логаритми” потребителят Newbie търси помощ да реши задачата: Колко цели числа има в отворения интервал (log₅32^-1; (log₆24)²), т.е. колко са целите числа във вътрешността на интервала.

Всъщност тази задача е много трудна и аз самият не мога да я реша. Ето и моят анализ на задачата (който аз не мога да кача във форума, защото не владея, а и нямам време да овладявам програмата за директно писане):
log₅32^-1 = -1.log₅32 = -log₅32

При основа 5 > 1 логаритмичната функция f(x)=log₅x е растяща, т.е. на по-голям аргумент х съответства по-голяма стойност на логаритъма:
2 = log₅25 < log₅32 < log₅125 = 3
2 < log₅32 < 3 | . (-1)
-3 < -log₅32 < -2, т.е.
-3 < log₅32^-1 < -2

Аналогично:
1 = log₆6 < log₆24 < log₆36= 2
1 < log₆24 < 2

Тъй като и трите числа във верижното неравенство са положителни, то при повдигане в квадрат посоката на неравенството се съхранява:
1² < (log₆24)² < 2²
1 < (log₆24)² < 4,
т.е. числото (log₆24)² е някъде във вътрешността на интервала (1; 4) . От това „някъде” обаче следва цялата трудност на задачата. Наистина:
Ако (log₆24)² е близо до единицата (до левия край на интервала (1; 4) , ще имаме подреждане:
-3, log₅32^-1, -2, -1, 0, 1, (log₆24)², 2, 3, 4
и в интересуващия ни интервал (log₅32^-1; (log₆24)²) ще имаме четири цели числа: -2, -1, 0 и 1.

Ако (log₆24)² е близо до четворката (до десния край на интервала (1; 4), ще имаме подреждане:
-3, log₅32^-1, -2, -1, 0, 1, , 2, 3, (log₆24)² , 4
и сега във въпросния интервал ще попаднат шест цели числа: -2, -1, 0, 1, , 2, 3.

Ако искаме задачата да има еднозначен отговор, ще трябва да намерим точната стойност на числото log₆24 , която обаче трябва да търсим в таблици за логаритми с основа 6, каквито аз не съм виждал. Или пък да решим уравнението 6^p/q = 24 , където p и q са рационални числа.

Аз не знам как се решава това уравнение (на каква рационална степен трябва да повдигнем числото 6, за да получим 24). Може би някой от колегите знае?

А може би г-н „Newbie” е записал погрешно условието на задачата? Да не би вместо (log₆24)² да е било log₆24² ? В такъв случай задачата става лесна.

[r2d2]

С интерес прочетох горното,
ето и задача (Chalenge):

Да се докаже, че [tex]\frac{33}{19}<\log_624<\frac{16}{9}[/tex]

Забележка: Понеже [tex](\frac{33}{19})^2=\frac{1089}{361}>3[/tex], разбираме, че [tex](\log_624)^2>3[/tex].

Без калкулатори, програми, анализ и т.н.
Задачата е по силите на всеки, можещ да работи с логаритми!

[garion]

[administrator]

Писмото, което г-н Шумаров ми изпрати

[r2d2]

Ми нищо не хитрувам, или както казваше баща ми "не илинджийствам" . Ще поствам след празниците.
Дано до тогава някой друг се оправи!

[cub]

[tex] log_{6}24< \frac{16}{ 9}[/tex]
[tex] 1+log_{6}4< \frac{16}{ 9}[/tex]
[tex] 2log_{6}2<\frac{7}{9 } [/tex]
[tex] \frac{1}{1+log_{2}3 }-\frac{7}{18 }<0[/tex]
[tex] \frac{18-7-7log_{2}3}{+... } <0[/tex]

[tex]11-7log_{2}3<0[/tex]
[tex]11<log_{2}3^{7}[/tex]
[tex] 2^{11}<3^{7}[/tex]
[tex] 16.16.8<81.27[/tex]
[tex] 2048<2187 [/tex]

=> вярно

[tex] \frac{33}{19 } <log_{6}24[/tex]
[tex] \frac{33}{19 }< 1+log_{6}4[/tex]
[tex] \frac{14}{19}< \frac{2}{ 1+log_{2}3}[/tex]

[tex] 7+7log_{2}3-19<0[/tex]
[tex] log_{2}3^{7}<12[/tex]
[tex] 3^{7}< 2^{12}[/tex]
[tex] 2187< 2048.2[/tex]

=>вярно

И на ръка се смята, а може би r2d2 има и по-хубаво решение.

[r2d2]

Браво, това беше и моето (смея да твърдя елементарно решение).
Чакам коментар от г-н Шумаров!

[Shumarov7]

Стр. 1 и 2

[Shumarov7]

Убедихте ме, че имате нужната рутина, за да решавате задачи с повишено трудност. Вашите решения обаче, така представени, са типично „кириак-стефчовски”, т.е. непригодни за ученици. Такива решения-ребуси могат само да отблъскват посетители, но не и да привличат. Ролята на медиатора е не да демонстрира учеността си, а съдейства за увеличаване на потребителите на сайта. Затова се потрудих да покажа един образец на методически издържано решение, от гледна точка на един учител.