едно неравенство с логаритъм

[sladkoto]

Ако може някой да ми помогне с тази задачка много ще му благодаря :

1/2 log_{2} (x+3) < 1 + log_{1/2} x

[Реклама]

[b1ck0]

[tex]\frac{1}{2}log_{2}(x+3) < 1 + log_{\frac{1}{2}}x[/tex]

[tex]\frac{1}{2}log_{2}(x+3) < 1 + log_{2^{-1}}x[/tex]

[tex]\frac{1}{2}log_{2}(x+3) < 1 - log_{2}x[/tex]

[tex]\frac{1}{2}log_{2}(x+3) < log_{2}2 - log_{2}x[/tex]

[tex]\frac{1}{2}log_{2}(x+3) < log_{2}{\frac{2}{x}}[/tex]

[tex]log_{2}sqrt(x+3) < log_{2}{\frac{2}{x}}[/tex]

[tex]sqrt(x+3) < \frac{2}{x}[/tex]

ДС: [tex]\begin{tabular}{|l}x+3\ge 0\\ \frac{2}{x}>0 \\ x \ne 0\end{tabular} [/tex], [tex]\begin{tabular}{|l}x \ge -3\\ x>0 \\ x \ne 0\end{tabular}[/tex]

ДС: [tex]x > 0[/tex] окончателно

[tex]sqrt(x+3) < \frac{2}{x}[/tex]

[tex]x+3 < \frac{4}{x^{2}}[/tex]

[tex]\frac{x^{3} + 3x^{2} - 4}{x^{2}} <0[/tex]

За да бъде това неравенство вярно, то или числителя или знаменателя трябва да са отрицателни. В знаменател имаме [tex]x^{2}[/tex], което е винаги положително ( и различно от нула в нашия случай ) , така че остава числителя да е отрицателен т.е. :

[tex]x^{3} + 3x^{2} - 4<0[/tex]

[tex]x^{3} + 3x^{2} - 3 - 1 <0 [/tex]

[tex](x^{3} - 1) + (3x^{2} - 3) <0 [/tex]

[tex](x^{3} - 1) + 3(x^{2} - 1) <0 [/tex]

[tex](x-1)(x^{2} + x +1) + 3(x-1)(x+1) < 0 [/tex]

[tex](x-1)[x^{2} + x +1 + 3x + 3] < 0[/tex]

[tex](x-1)[x^{2} + 4x + 4]<0[/tex]

[tex](x-1)[x+2]^{2} <0 [/tex]

Тъй като [tex][x+2]^{2} >0 [/tex], то остава [tex]x-1<0 \Rightarrow x<1[/tex], но според нашите ДС имаме: отг:
[tex]x\in(0,1)[/tex]

[ганка симеонова]

къде са ти Д.С., решенията на ирационалното неравенство и окончателните решения
на задачата?

[b1ck0]

Каза да и помогна, не да я реша цялата ... То sladkoto може да се оправи с ДС и ирационалното уравнение ...

[ганка симеонова]

я вземи, я реши

[sladkoto]

b1ck0 мерси много златен си
аз ще се оправя с ДС-то.. поне това мога

[b1ck0]

Е, аз я реших цялата ...

[r2d2]

Записваме неравенството във вида:

[tex]\frac{1}{2} \log_2(x+3)=1-\log_2x[/tex]

И сега няколко въпроса към sladkoto:
1. Когато х се увеличава какво прави
а) лявата страна
б) дясната страна

Почти като за тест в УНСС!
Можеш ли да го решиш на ум! Не забравяй, че х>0!

[Methuselah]

[b1ck0]

Някак си .... да