Равностранен триъгълник ???

[simon_kazakov]

Еххх, тази планиметрия ...
Наскоро си взех сборника на Христо Пачев : "Планиметрия в примерни задачи" и тотално се отчаях... А си мислих, че планиметрията ми върви
Както и да е, ето я задачката, която ме мъчи:
Докажете, че ако височина, медиана и ъглополовяща от три различни върха са равни по дължина, то триъгълникът е равностранен

[Реклама]

[ганка симеонова]

ако СМ е медиана, АН- височина, BL- ъглополовяща, като за начало построй през т.М следните две отсечки:
[tex] ML_{1}//BL ; MH_{1}//AH...[/tex] тогава те ще са средни отсечки и ще са равни на половина от медианата...това, като за начало

[simon_kazakov]

Да, ъгъл DCB излиза 30 [tex]^\circ [/tex] ... Но дотам Пробвах с удвояване на медианата, успоредно транслиране на ъглополовящата през т. A, т. D, т. M, но нищо не излезна От ML1 || BL какво следва

[r2d2]

Това е зад. 2.2.2 в зад. 2.2.1 е разгледано допълнителното построение (основно), което води до решаване на задачата . Остава да докажеш (използваш), че ако медианата в триъгълник е половината от страната към която е спусната, то триъгълникът е правоъгълен.

Р.S. По-добре е да се стреснеш в началото на април, отколкото да се събудиш в края на юли!
Успех!

[simon_kazakov]

В задача 2.2.1. е построена MH₁ || AH от където намираме [tex]\angle [/tex] MCB = 30 [tex]^\circ [/tex]. Обаче в кой триъгълник се получава медиана равна на половината от хипотенузата? Единствено се сещам за това :

MM₁ = CM и SM = BL ... От тук ъгъл M₁SC stava 90 [tex]^\circ [/tex] и натам е лесно, обаче не знам как да докажа, че SAM₁ лежат на една права.

[simon_kazakov]

Може ли малко по-подробно решение на задачата ... от няколко дена ме измъчва Не знам, може и лесна да е обаче човек, като забие на една задача и ... Даже и от училище не можаха да ми помогнат да я реша.
"Остава да докажеш (използваш), че ако медианата в триъгълник е половината от страната към която е спусната, то триъгълникът е правоъгълен."
За кой триъгълник трябва да докажа, че е правоъгълен ?

[bobson]

Аз опитах да продължа ML₁ до пресичането с BC, но и от там нищо не се получава

А иначе от триъгълник ABH излиза, че MH = AM = BM ако докажем, че те са равни и на BH ще се получи много добре

Как да използвам това, че BL е ъглопополовяща.

[simon_kazakov]

[r2d2]

Да припомним ако от един връх излизат височина, ъглопол. и медиана, то [tex]h \le l \le m.[/tex]
1. Понеже [tex]h_a=l_b \ge h_b \Rightarrow h_a \ge h_b \Rightarrow a \le b.[/tex]
2. Понеже [tex]h_a=m_c \ge h_c \Rightarrow h_a \ge h_c.[/tex]

Доказахме, че h_a e най-голямата височина.
Ако през М построим успоредни на h_a и h_b, доказваме че [tex]\angle C \le 60.[/tex] Това е направено в зад. 2.2.1.

Сега [tex] m_c=l_b \le m_b \Rightarrow m_c \le m_b.[/tex]
От ф-ла за медианата:
[tex]4m_c^2=2a^2+2b^2-c^2 \;\; 4m_b^2=2a^2+2c^2-b^2.[/tex] Вадим и получаваме:
[tex]4(m_c^2-m_b^2)=3(b^2-c^2).[/tex] Ясно е, че ако [tex]m_c \le m_b \Rightarrow b \le c.[/tex] (Доказахме, че с-у по-малка медиана лежи по-голяма страна и обратното!)

От [tex]a \le b, \; b \le c [/tex] намираме, че с е най-голямата страна, но [tex]\angle C \le 60.[/tex]
Останаха възможни само равенствата!

[simon_kazakov]

Страхотноооооо.... Мерси много.
И аз бях тръгнал натам, но това не го знаех:
[tex]h \le l \le m.[/tex]
P.S. [tex]h \le l \le m.[/tex] за всеки триъгълник ли се отнася, или само за остроъгълни

[r2d2]

Това е вярно за произвоен триъглник. Вземи ги докажи!