4-точки - една окръжност.

[r2d2]

АВС - правоъгълен. D и Е са среди на катетите, М и N са допирните точки на вписаната окр. DE пресича описаната окр. в т. F,G.

Вярно ли е, че F,G,М и N лежат на една окръжност?
Задачата не е лесна. Като за пост 900!

[Реклама]

[ганка симеонова]

построяваме диаметър КТ, перпендикулярен на АВ (т.Т е в полуравнината спрямо АВ, несъдържаща триъгълник АВС)
ще докажем, че т.Т е равноотдалечена от четирите точки. очевидно [tex] TF=TG[/tex]
[tex] CT [/tex]- ъглополовяща на [tex] \angle ACB[/tex] тогава
[tex]\Delta CMT[/tex]еднакъв на[tex] \Delta CNT => TM=TN[/tex]
остава да докажем равенство на TF и TM. нека въведем стандартни означения за елементите на АВС. разглеждаме [tex] ATBC[/tex] - вписан четириъгълник. от теоремата на птоломей следва, че:
[tex] CT.AB=AT.CB+TB.AC[/tex] =>....[tex] CT=\frac{a+b}{\sqrt{2} }[/tex]
прилагаме кос. теорема за [tex]\Delta MCT =>[/tex]
[tex] MT^{2}=CM^{2}+CT^{2}-2CM.MTcos45^\circ [/tex]
[tex] MT^{2}=\frac{(a+b-c)^{2}}{ 4}+\frac{(a+b)^{2}}{2 }-2\frac{(a+b-c)}{ 2}\frac{(a+b)}{\sqrt{2} }\frac{\sqrt{2} }{2 }[/tex]
[tex] MT^{2}=\frac{c^{2}+ab}{2 } [/tex] (1)
разглеждаме прав. триъгълник TFK и означаваме пресечната точка на FG и ТК с I. прилагаме метрична зависимост в правоъгълен триъгълник=>
[tex] TF^{2}=TK. TI[/tex] от това, че FG минава през средите на страните следва, че
[tex] OI=\frac{h}{ 2} [/tex] h- височина на АВС=>
[tex] TI=\frac{h+c}{2 } [/tex]
[tex] TF^{2}=c\frac{h+c}{2 }=\frac{c^{2}+hc}{2 }=\frac{c^{2}+ab}{2 }[/tex] (2)
от (1) и (2) следва, че Т е равноотдалечена от четирите точки и е център на описаната около FMNG окръжност