равнобедрен триъгълник с макс. лице

[r2d2]

Ако АВС е равнобедрен и Д дели ВС в отношение ВД:ДС=1:2. Намерете най-голямото възможно лице на АВС, ако АД=5.

[Реклама]

[Methuselah]

<DAB=α
h=3.(5.sinα)
AB=(5.cosα)(6/5)
S=h.AB/2
f(x)=sinα.cosα
f(max) за α=45°

[Nona]

Построяваме ВТ, която дели АС в отношение 1:2.
ВТ=АD=5

[tex]S_{ABC}=\frac{9}{5}S_{ABDT}=\frac{9}{5}.\frac{d_1d_2\sin\varphi}{2}\le \frac{9}{5}.\frac{d_1d_2}{2}=\frac{9}{5}.\frac{5.5}{2}=\frac{45}{2}[/tex]

[cub]

още една идея, малко по-тромаво

АC=3x, CD=3x, AD=5
Херонова формула за ▲ADC
S на ▲АBC : S на ▲АDC= 3 : 2
[tex] S_{ABC}= \frac{3}{2 } S_{ADC}[/tex]

[tex]S= \frac{3}{ 2}.\frac{1}{4 }\sqrt{(25x^{2}-25)(25-x^{2}}=\frac{15}{8 }\sqrt{-x^{4}+26x^{2}-25)}[/tex]

[tex] f(u) = -u^{2}+26u-25[/tex]

u>0, f'(u)=-2u+26, max стойност при u=13
[tex] S_{max}=\frac{45}{ 2} [/tex]