Ирационално уравнение с параметър УАСГ

[LDV]

[tex]6\sqrt{x-2}=ax+7[/tex]
За кои стоийности на а, уравнението има единствено решение?

Стигам само до няколко заключения, но не мога да продължа.
1) [tex]a\ge-\frac{7}{2} [/tex]
2) [tex]a\neq 0[/tex]

И от а) е доказано че за а=1 уравнението има единствено решение. Моля за някаква помощ или поне насока как да реша задачата.

[Реклама]

[Nona]

ДС: х≥2

Повдигни на квадрат и ще получиш квадратно уравнение, което ще има само един корен в интервала [2, +∞), когато:

1) коефициентът пред х ² е 0 и уравнението е линейно с корен, който трябва да принадлежи в интервала [2, +∞).

2) D=0 и уравнението има 1 двоен корен, който трябва да принадлежи в [2, +∞).

3) уравнението има два корена, но само единият от тях принадлежи в [2, +∞).

[r2d2]

Полагаме [tex]\sqrt {x-2} = u \ge 0.[/tex]
Получаваме [tex]6u=a(u^2+2)+7[/tex] или [tex]au^2-6u+2a+7=0[/tex].
Пита се кога това у-ние има само един неотрицателен корен.
1. При а=0 е така.
2. Ако а не е 0, у-нението е квадратно. От ф-лите на Виет имаме:

[tex]u_1u_2=\frac{2a+7}{a} \le 0[/tex], което е изпълнено за [tex]a \in [-7/2;0)[/tex].
При а=-7/2 от [tex]u_1+u_2=\frac{6}{a} [/tex] виждаме, че другия корен е отрицателен, така че и а =-7/2 става.

3. Остана само случая, уравнението да има двоен положителен корен или [tex]D=4(9-2a^2-7)=0[/tex] и [tex]u_1+u_2=\frac{6}{a}>0 [/tex], откъдето а=1.
Окончателно у-нието има само един корен за [tex]a \in [-7/2;0][/tex] и а=1.

Е разбира се, както казва народът "Очи да видят-ръка да пипне". Ето и графиките на [tex]y=6\sqrt{x-2} [/tex] и на критичните прави.