задачка

[Gal4_Portokal4]

Даден е равнобедрен триъгълник ABC с ъгъл от 120^\circ .Точка М разделя основата в отношение 1:2.Трябва отсечката CM да се изрази чрез АВ.Доста време се мъчих,добавях и височина,нанасях допълнителни отсечки,но нещо ми се губи.Почти съм сигурна,че се получава 1/3 АВ,но не мога да го докажа.Ако някой има желание,нека реши задачата и публикуварешението й.

[Реклама]

[ганка симеонова]

правим следните построения: построяваме височината към основата CH и перпендикуляр МР към АС. означаваме
[tex] AM=x =>MB=2x => AB=3x ; AH=\frac{3x}{2 }=>MH=\frac{x}{ 2}[/tex]
разглеждаме [tex] \Delta APM: \angle PAM=30^\circ =>PM=\frac{1}{2 }AM=>PM=\frac{x}{2 }[/tex]
тогава имаме еднакви триъгълници. това са:
[tex]\Delta CPM; \Delta CHM[/tex] ( по катет и хипотенуза)=>
[tex]\angle PCM=\angle HCM ; \angle ACH=60^\circ => \angle PCM=\angle HCM =30^\circ [/tex]
тогава от правоъгълния [tex]\Delta MHC ; \angle MCH=30^\circ =>CM=2MH=>CM=x=>CM=\frac{1}{3 }AB [/tex]