Сума от крадратите на корените на уравнението

[complex]

Ето какво гласи задачата:
Да се намери сумата от квадратите на корените на уравнението.
[tex](x^2 + 2x)^2 -5(x^2 + 2x) + 3 =0[/tex]

Аз тръгвам по следния начин: x₁² + x₂²=(x₁ + x₂)² -2x₁x₂, но не стигам до никъде, за това ще ви помоля да помагате.

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Полагаш [tex]x^2+2x=t[/tex] и решаваш просто квадратно уравнение.

[complex]

Точно това направих първо, получавам [tex]t_{1/2}=\frac{5\pm \sqrt{13} }{ 2} [/tex]
След като заместя получавам, че [tex]x_{1/2}=\frac{-4 \pm \sqrt{56 +8\sqrt{13} }}{4 } [/tex] и [tex]x_{3/4}=\frac{-4 \pm \sqrt{56 - 8\sqrt{13} } }{4 } [/tex]

[ObsCure]

Дискриминантата в изразите за x е всъщност формула.

(2+2[tex]\sqrt{13}[/tex]) ²=4+2.2.2[tex]\sqrt{13}[/tex]+4.13=56+8[tex]\sqrt{13[/tex]

[complex]

Отговорът е 4. Като ги пресметнах, както ти ми подсказа получавам това: [tex]x_1^2+x_2^2=\frac{13 +2\sqrt{13} }{2 } [/tex]
[tex]x_3^2+x_4^2=7+\sqrt{13} [/tex]

[r2d2]

От къде разбра, че е 4. Щото аз по два два начина го изкарвам друго?

[Infernum]

Грешен му е отговора.
Полага се x² + 2x = t.
Тогава изходното уравнение има вида t² - 5t + 3 = 0.
За неговите корени от формулите на Виет е изпълнено
t₁ + t₂ = 5.
Корените на изходното уравнение се намират от следните две квадратните уравнения
x² + 2x - t₁ = 0 и x² + 2x - t₂ = 0.
За тях от формулите на Виет се получава

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 4 + 2t₁

x₃² + x₄² = (x₃ + x₄)² - 2x₃x₄ = 4 + 2t₂

Като се сумират последните 2 уравнения се получава

x₁² + x₂² + x₃²+x₄² = 8 + 2(t₁ + t₂) = 18.

Другия начин е с формули на Виет за уравнение от 4-та степен.

[r2d2]

Taka si e! Eto:

[complex]

Благодаря за решенията свършиха ми добра работа. Понеже в ТУ не дават формулите на Виет от 4та степен и при решаването на други подобни задачи използвах начина на Infernum,защото начина на R2D2 е доста труден.