Авторска Задача от румъния 2005

[Titu_Andrescu]

Решете в неотрицателни реални числа системата уравнения.
a²+b²+c²=3
ab²+bc²+ca²=2+abc.
Подсказка:
Има точно 4 решения

[Реклама]

[nevi_89]

Еми отговорите могат да се понагодят чрез стесняване на ДМ и директна проверка,обаче чисто решение не можах да намеря.
отг: 1. a=b=c=1
2. a=2^1/2,b=0,c=1
3. a=1,b=2^1/2,c=0
4 a=0,b=1,c=2^1/2

Titu, хайде да постнеш решението,ако ти е добро...

[Erutan]

[Titu_Andrescu]

Може и сега ще ви го покажа.
Решение.
1 случай. Нека b е между a и c. Тогава 2+abc-(ab^2+bc^2+ca^2)=2+abc-ab^2-b(3-a^2-b^2)-ca^2=(2-3b+b^3)-a(b^2-bc-ab+ac)=(1-b)^2(2+b)-a(b-a)(b-c) ≥0, тъй като b е между a и c.
Но по условие имаме равенство, а равенство в този случай се достига тогава и само тогава, когато а=1,b=1,c=1 или a=0,b=1,c=2^0.5.
Аналогично:
2 случай. Нека c е между a и b. Тогава 2+abc-(ab^2+bc^2+ca^2)=(1-c)^2(2+c)-b(c-a)(c-b)≥0.
равенство в този случай се достига тогава и само тогава, когато а=1,b=1,c=1 или a=2^0.5,b=0,c=1
3 случай-последен. Нека a е между b и c. Тогава
2+abc-(ab^2+bc^2+ca^2)=(1-a)^2(2+a)-c(a-c)(a-b)≥0.
равенство в този случай се достига тогава и само тогава, когато а=1,b=1,c=1 или a=1,b=2^0.5,c=0
С това задачата е решена.

Задачата е предложена от Vasile Cirtoaje - University of Ploiesty, Romania.

Орегиналното условие е следното:
Нека a,b и c са не отрицателни числа със сума от квадратите им равна на 3. Да се докаже, че : a/(b+2)+b(c+2)+c/(a+2)≤1.
Решение:
Подведете под общ знаменател неравенството и вижте какво ще се получи. Успех!