вписан квадрат в окръжност

[nikolai_pr]

Здравейте,
изпитвам затруднения за решаването на една задача от НБУ участваща в миналагодишия изпит. Ето я и задачата:
В окръжност с радиус 3см е вписан квадрат. В квадрата е вписана окръжност, в нея - квадрат и т.н. Така се получават безброй квадрати, сумата от лицата на които е...
а)24см²
б)28см²
в)32см²
г)36см²
д)48см²

Верния отговор ми е известен но начина по който да стигна до него не е. Предварително благодаря на отзовалите се!!!

[Реклама]

[ганка симеонова]

означаваме:
a- страна на произволен квадрат; d- диагонал на този квадрат, който е и диаметър на описаната около него окръвност. в сила е следната връзка;
[tex] a=\frac{d}{\sqrt{2} } [/tex]
тогава за страната АВ на най- гоелмия квадрат ще имаме:
[tex] AB=\frac{2R}{\sqrt{2} }=R\sqrt{2}[/tex]
АВ е равна на диаметъра на втората (синя окр) тогава страната на синия квадрат ще е:
[tex] CD=\frac{R\sqrt{2} }{\sqrt{2} }=R [/tex]
аналогично тази страна е равна на диаметъра на черната окръжност. тогава страната на черния квадрат [tex] EF=\frac{R}{ \sqrt{2} }[/tex] и т.н.
тогава сумата от лицара ще е:
[tex] \sum_{}^{ } =AB^{2}+CD^{2}+EF^{2}+...=[/tex]
[tex]=2R^{2}+R^{2}+\frac{R^{2}}{2 }+... [/tex]
това е сума на безкрайно малка геометрична прогресия с [tex] a_{1}=2R^{2} ; q=\frac{1}{2 } [/tex]=>
[tex] \sum_{}^{ } =a_{1}\frac{1}{1-q }=2R^{2}\frac{1}{0,5 }=4R^{2}[/tex]
в троя случай [tex] R=3 =>\sum_{}^{ } =36 [/tex]

[Tony_89]

Първият квадрат е вписан в окръжност с диаметър 6, което значи, че диагоналът му е 6.

Ако страната на първия квадрат е a, диагоналът е равен на [tex]\sqrt{2}a[/tex] =>

=> [tex]a = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}[/tex]

Окръжността, вписана в първия квадрат има за диаметър a.

По тази логика страната на втория квадрат ще [tex]\frac{a}{\sqrt{2}}[/tex], на следващия [tex]\frac{a}{2}[/tex] и т.н.

Значи сборът от лицата ще бъде [tex]a^{2} + (\frac{a}{\sqrt{2}})^{2} + (\frac{a}{2})^{2} + ... = a^{2} + \frac{a^{2}}{2} + \frac{a^{2}}{4} + ... = 18 + \frac{18}{2} + ...[/tex]

Тук се използва формулата за геометрична прогресия:

[tex]18 + \frac{18}{2} + ... = 18.\frac{1 - (\frac{1}{2})^n}{1 - \frac{1}{2}}[/tex] като n клони към безкрайност.

[tex]18.\frac{1 - (\frac{1}{2})^n}{1 - \frac{1}{2}} = 36.(1 - \frac{1}{2^{n}})[/tex]

n клони към безкрайност => [tex]36.(1 - \frac{1}{2^{n}})[/tex] клони към 36.

[Tony_89]

Много си бърза, не може да те изпревари човек

[ганка симеонова]

да, но много пъти бързата кучка слепи ги ражда

[nikolai_pr]

благодаря и на двама ви
Ганка +1