Височина и медиана

[Saposto_MM]

Върху страните AB, AC и BC на отроъгълния ▲ABC са взети съответно точките C₁, B₁, A₁ така, че AA₁, BB₁ и CC₁ се пресичат в една точка.
a)Да се докаже, че AA₁ е височина тогава и само тогава, когато AA₁ е ъглополовяща на [tex]\angle B_{1}A_{1}C_{1}[/tex]
б)Да се докаже, че AA₁ е медиана тогава и само тогава, когато B₁C₁||BC.

[Реклама]

[r2d2]

a) Построяваме права през А || BC и нека
От теоремата на Чева инаме[tex] \frac {BC_1}{C_1A}\cdot \frac {AB_1}{B_1C}\cdot \frac {CA_1}{A_1B}=1, [/tex] но [tex]\frac {BC_1}{C_1A}=\frac{BA_1}{AE}\;;\;\frac {AB_1}{B_1C}=\frac{AD}{CA_1}[/tex].

Като заместим в равенството от теоремата на Чева получаваме AE=AD.
Сега [tex]AA1 \perp BC \Leftrightarrow AA1 \perp ED \Leftrightarrow \angle EA_1A=\angle DA_1A[/tex] защото АА1 е медиана.

Ако имаш решение без Чева, ще се радвам да го видя.

б) ми се струва тривиално.