Ето още 1 задача за математиците. :)

[mart]

В правоъглен тр-к ABC е построена височина CD към хипотенузата, P и К са среди съответно на АD и BD. H e ортоцентър на PCK. Да се докаже че CH:HD=3:1

[Реклама]

[ганка симеонова]

за нас или за теб)

[mart]

[r2d2]

Ето голямо подсказване по (Big Hint) по втора задача.

В правоъгълен АВС, е постр. височината СД. К е среда на ВД, а М е среда на СД. Докажете, че [tex]AM \perp CK.[/tex]

Има и други решения.

[ганка симеонова]

r2d2 направи чудесна подсказка
[tex] \Delta ADC\approx \Delta DBC [/tex] АМ и СК- съответни медиани в тези триъгълници ( спуснати към пропорционални страни) =>
[tex] \Delta AMD\approx \Delta CDK =>\angle MAD=\angle DCK[/tex]
разглеждаме [tex] \Delta AMD ; \Delta CMF[/tex]
[tex] 1)\angle MAD=\angle MCF[/tex]
[tex]2)\angle AMD=\angle CMF[/tex]- връхни
[tex]3)\angle ADM=\angle CFM=90^\circ [/tex]
построяваме РТ- височина в [tex]\Delta PCK =>AF//PT [/tex]
т.О- медицентър в [tex]\Delta ADC=>\frac{CO}{OK } =\frac{2}{1 }[/tex]
разглеждаме [tex]\angle PCH[/tex], чийто рамене са пресечени с успоредните прави OM и PH. тогава по теоремата на талес =>[tex] \frac{CM}{MH }=\frac{CO}{OP }=\frac{2}{1 } [/tex]
[tex]=>CM=2y, MH=y [/tex] ,но [tex]CM=MD=>MD=2y=>HD=y=>\frac{CH}{HD }=3[/tex]