Два вписани квадрата

[r2d2]

Два квадрата са вписани в правоъгълен триъгълник, по показания по-долу начин. Ако катетите са а и в, намерете минималната сума от лицата на квадратите.

[Реклама]

[ганка симеонова]

случайно отговорът да е:
[tex] S_{min}=\frac{2a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})}{(a+b)^{4} } [/tex]
или пак съм отпрашила по някоя, от допирателните...

[Nona]

Аз получавам нещо друго...

[r2d2]

Като равенство се достига за...?

[Nona]

[r2d2]

Nona, а и в са фиксирани, което иде да покаже че равенство нямаме, т.е. че оценката ти е слаба.
Поне така си мисля!

[Nona]

Надявам се, че вече е вярно

[r2d2]

Да, решението ти е вярно!
Не разбирам, защо си изтрила грешното.
Грешката беше много поучителна! Аз имам по-добро (поне според мен решение), но ще изчакам още малко.

[Nona]

[tex]\angle EGF=\angle HGJ=45^\circ \Rightarrow \angle EGI=90^\circ \\ EG^2+GI^2=EI^2 \\ x^2+y^2=\frac{EI^2}{2}[/tex]

Сега трябва да намерим най-малката стойност на отсечката EI, която се явява диаметър на описаната около EGIC окръжност.

[tex]EI=\frac{CG}{\sin\angle{GEC}}=\frac{CG}{\sin(45^\circ+A)}=\frac{\sqrt{2}CG}{\sin A+\cos A}=\frac{\sqrt{2}CG\sqrt{a^2+b^2}}{a+b}[/tex]

Най-малката стойност на ЕI се достига, когато дължината на CG е най-малка, т.е. когато CG е височина.

[tex]h=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ x^2+y^2\ge \left(\frac{h\sqrt{a^2+b^2}}{a+b}\right)^2=\frac{a^2b^2}{(a+b)^2}[/tex]

[r2d2]

e, това е!