Две задачки

[complex]

Имам въпрос следната задача:
Да се намери радиусът на окръжността, описана около равнобедрен трапец с основи 9см и 3см и ъгъл α при голямата основа.
На тази задача получавам:
[tex]R=\frac{\sqrt{117-108cos\alpha} }{2sin\alpha } [/tex]
А пък отговорът в сборника е:
[tex]R=\frac{3\sqrt{4+tg^2\alpha} }{2sin\alpha } [/tex]

Другата задача не мога да я реша.
В окръжност с радиус R е вписан остроъгълен ▲АВС с ъгли α, β, γ и височини AD, BE, CF. Да се намери периметърът на ▲DEF.

[Реклама]

[ганка симеонова]

построй височината DH. тогава от прав. [tex] \Delta AHD =>tg\alpha =\frac{DH}{AH };AH=3 =>DH=3tg\alpha [/tex]
[tex]\Delta DHB: DB^{2}=DH^{2}+HB^{2}=9tg^{2}\alpha +36=9(tg^{2}\alpha +4) =>DB=3\sqrt{tg^{2}\alpha +4 } [/tex]
прилагаме синусова теорема за :
[tex]\Delta ABD: R=\frac{DB}{2sin\alpha }=\frac{3\sqrt{tg^{2}\alpha +4 } }{2sin\alpha } [/tex]

[ганка симеонова]

втора е много дълга. ако имаш търпение ще ти я напиша. ах, този коларов

[ганка симеонова]

първо ще разгледаме следната задача, която си е направо основна:
[tex]\Delta EDC\approx \Delta BAC[/tex]
АВ "се вижда" от т.Е и т.D под един и същи ъгъл( 90 градуса)=>около чет.ABDE може да се опише окръжност. =>
[tex] \angle A=\alpha =>\angle BDE=180^\circ -\alpha [/tex]но [tex]\angle EDC[/tex]-съседен на [tex]\angle BDE=>\angle EDC=\alpha . [/tex]
[tex]\angle C=\gamma [/tex]- общ за двата триъгълника. тогава по 1 признак, те са подобни=>
[tex] k=\frac{ED}{AB }=\frac{EC}{BC }=cos\gamma =>ED=ABcos\gamma =c.cos\gamma [/tex]
аналогично: [tex] EF=a. cos\alpha ; FD=b.cos\beta [/tex]
по синусова теорема изразяваме страните на големия триъгълник, заместваме в изразите за страните, сумираме и получаваме за
[tex] P_{DEF}=R(2sin\alpha cos\alpha +2sin\beta cos\beta +2sin\gamma cos\gamma )=R(sin2\alpha +sin2\beta +sin2\gamma )=...4Rsin\alpha sin\beta sin\gamma [/tex]

[ганка симеонова]

по повод тригонометричното преобразувание:
[tex] 2\alpha +2\beta +2\gamma =360^\circ =>sin\gamma =sin[360^\circ -(2\alpha +2\beta )]=-sin(2\alpha+2\beta )[/tex]
[tex] sin2\alpha +sin2\beta -sin2(\alpha +\beta )=2sin(\alpha +\beta )cos(\alpha -\beta )-2sin(\alpha +\beta )cos(\alpha +\beta )=2sin(\alpha +\beta )[cos(\alpha -\beta )-cos(\alpha +\beta )]= [/tex]
[tex]=2sin(\alpha +\beta). 2sin\alpha .sin\beta =4sin\alpha sin\beta sin\gamma [/tex]
заб:[tex] sin(\alpha +\beta )=sin(180^\circ -\gamma )=sin\gamma [/tex]

[complex]

Ганка, благодаря ти много за задачата, не вярвах, че някой ще седне да я решава, но ти доста си се постарала. Извинявам се за невежеството си, но не разбрах, защо ЕС/BC=cosγ

[ганка симеонова]

споко! всичко е ОК. разгледай правоъгълния [tex]\Delta BEC: cos\gamma =\frac{EC}{ BC}... [/tex]