От тест в ТУ

[Nona]

Да се реши уравнението

[tex]\sqrt{1+\cos{4x}}.\sin{\frac{3x}{2}}=\sqrt{2}.\cos\frac{2\pi}{3},[/tex]

ако [tex]x\in\left[-\frac{\pi}{3};0\right].[/tex]

[Реклама]

[r2d2]

2пи/2? Това така ли е?
Верно вече в ТУ вместо х ще пишат 17х/17, ама все пак?

[Nona]

Извинявайте Оправих го.

[Infernum]

Уравнението може да се запише във вида

[tex]\sqrt{2\cos^2{2x}}\sin \frac{3x}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2},[/tex]

което е същото като

[tex]|\cos 2x |\sin \frac{3x}{2}=-\frac{1}{2} .[/tex]

Тъй като
[tex]|cos 2x|=\{-cos 2x \ , \ -\frac{\pi}{3}\le x\le -\frac{\pi}{4} \\ cos 2x \ , \ -\frac{\pi}{4}\le x \le 0[/tex]
уравнението се разпада на две уравнения:

[tex]\cos 2x \sin \frac{3x}{2}=\frac{1}{2} \ , \ -\frac{\pi}{3}\le x\le -\frac{\pi}{4}[/tex]
и
[tex]\cos 2x \sin \frac{3x}{2}=-\frac{1}{2} \ , \ -\frac{\pi}{4}\le x \le 0[/tex]

Като се вземе предвид, че

[tex]\cos 2x\sin{\frac{3x}{2}}=\frac{1}{2}\left(\sin{\frac{7x}{2}}-sin{\frac{x}{2}}\right),[/tex]

уравненията могат да се запишат по следния начин:

[tex]\sin{\frac{7x}{2}}=1+sin{\frac{x}{2}} \ , \ -\frac{\pi}{3}\le x\le -\frac{\pi}{4}[/tex]
и
[tex]\sin{\frac{x}{2}}=1+\sin{\frac{7x}{2}} \ , \ -\frac{\pi}{4}\le x \le 0.[/tex]

Дотук е така.

Сега образувай функцията

[tex]f(x)=\sin{\frac{7x}{2}}-1-sin{\frac{x}{2}} \ , \ -\frac{\pi}{3}\le x\le -\frac{2\pi}{7}[/tex]

и докажи че тя е намаляваща.

Имаш [tex]f\left( -\frac{\pi }{3} \right)=0[/tex].

Докажи, че второто уравнение няма решение.

[Infernum]

Ееееми сори. Аз също не бях сигурен дали е така, ама рекох, че точно ти едва ли ще сбъркаш условие

[Nona]

Някакви идеи

[r2d2]

Понеже пишеш от тест в ТУ, а на теста обикновено има отговори, каква е оригиналната задача.
Иначе единствено реш. е х=-Пи/3, ама как се доказва не ми се мисли!

[Nona]

Това е оригиналното условие - задачата е от втората част на теста, в която няма отговори

[Infernum]

Поправен е поста.

[Fed]

Ето едно решение с малко странни разсъждения на места (може би еднакво като идея с това на Infernum...)

[Garoll]

Здраравейте,кандидат-студент съм тази година.
Аз имам подобни тестове и в мойте такива я има същата задача , но в моята условието е сгрешено.В моето условие изразът от дясната страна е умножен с една двойка не знам и аз защо и задачата няма решение.Т.е. искам да кажа , ако някой , който има въпросната книжка от 2008-ма , то задачата му е със сгрешено условие,а вярното е написано тук.
П.С. Относно книжката , от която е задачата, коментарът ми е , че не бях срещал "сборник" с повече сгрешени задачи,неточности и тем подобни.Повечето задачи се решават наум, aа целият сборник за един ден.Това не е сериозно помагало за какъвто и да било тест, но както и да е.Тестът,който се падна миналата година в ТУ-София, е във въпросната книжка и за мое голямо очудване имаше грешка дори там... .

[Garoll]

Видях условието на задачата тук малко по късно.