zada4a 100!

[Volen Siderov]

Vav foruma predi 2 dena vidqsh 1 zadacha koqto mo haresa no pove4e ne mogash da q namarq.Bih iskal otnovo da q napisha i da i dam moeto reshenie.Zada4ata e :
Broq na posledovatelnite 0 nakraq na proizvedenieto 1!2!3!4!...98!99!100! e N.Da se nameri ostataka kogato N se deli na 1000.
Otgovor:
T.e. 1!2!..99!100!=P=P1 po 10^N kadeto P1 ne e kratno na 10
T.e. trqbva da namerim N kato izvedem vsi4ki mnogiteli 10 ot proizv.P
Za tova e dostata4no da oprodelim vsi4ki mnogiteli 10 kakto i vsi4ki mnogiteli 5.(Vsashnost ni trqbvat i mnogitel 2 za vseki mnogitel 5,no ot tqh imame v izlishak napr. vsi4ki 4etni 4isla sa 2.5 pati pove4e ot kratnite na 5).
Predstavqme P=1!2!3!...99!100! kato P=100^1po99^2po98^3po...(100-n)^(n+1)....3^98po2^99po1^100
Zapisvame go kato P=P2po10po10po9^11po10^11po8^21po10^21po...5^51po10^51po...1^91po10^91=P3po10^(2+11+21+31+41+51+51+61+71+81+91)=P3po10^(2+10+500)=P3po10^512
segada iznesim vsi4ki mnogiteli 5 bez ve4e iznesenite:
P3=P4po95^6po85^16po75^26po...15^86po5^96
ot tqx samo 25=5^2 i 75=3po5^2 sadarga 5 pove4e ot 1 pat(50 ve4e go smetnahme) t.e.
P3=P4po5^(6+16+2po26+36+46+56+66+2po76+86+96)=P5po10^(12+26+76+500)=P5po10^614
ili P=Gpo10^1126 kadeto g ne e kratno na 10(i na 5 no sas sigurnost mnogokratno na 2)
T.e. otgovora na zada4ata e 126
Molq tozi koito izprati zada4ata da mi kage dali e taka

[Реклама]

[nikko1]

Всички 20 на брой числа [tex]a_i\in\{5,\, 10, \dots,\, 100\}[/tex] дават поне по веднъж 5 като множител, а [tex]25,\, 50,\, 75,\, 100[/tex] по два пъти.
Всяко от числата [tex]a_i[/tex] се среща съответно [tex]101-a_i[/tex] пъти. Тогава степента на 5 в произведението е
[tex]20.101-(5+10+\dots+100)+(101-25)+(101-50)+(101-75)+(101-100)=2020-1050+76+51+26+1=1124.[/tex]
Иначе наистина 2 ще има по-висока степен, така че аз получавам 124.