Отвратителна задача

[Goones]

Първо Извинявам се че толкова скоро пускам нова тема.Но тази задача ме измъчи и наистина нямам идея как да я реша.

Докажете,че ако a и b са съседни страни в успоредник(a>b),d1 и d2 са диагоналите му(d1>d2),а [tex]\varphi[/tex]-острият ъгъл между тях,то a² - b²=d1.d2.cos[tex]\varphi[/tex]

[Реклама]

[Relinquishmentor]

Приложи Косинусова теорема за две съседни триъгълничета в успоредника, извади почленно каквото получиш и това трябва да е отговора.

[Goones]

ми и аз това направих но не ми се получиха нещата.

[ObsCure]

Утре ще постна решение за таз.Guten nacht all.

[ганка симеонова]

приложи косинусова теотема за тр. AOB; AOD и извади почленно ....

[Goones]

Да де аз точно това правя но отговора не излиза.Затова молех някой да я реши да видя къде греша.

[ObsCure]

Използваме,че

AO=OC=d₁/2

BO=OD=d₂/2

Прилагаме косинусовата към ▲AOB получаваме


a²=(d₁²+d₂²)/4+(d₁d₂cos[tex]\varphi[/tex])/2

Аналогично за ▲BOC се получава

b²=(d₁²+d₂²)/4-(d₁d₂cos[tex]\varphi[/tex])/2

Изваждаш ги и ще получиш търсеното равенство.

EDIT:Прав си,в бързината си съм написал колосална глупост.Триъгълникът е AOB.

[Goones]

А чакай малко по косинусовата теорема как ги получи тея неща?Виж аз какво получавам.

a²=[tex]\frac{d1}{ 2} [/tex]²+[tex]\frac{d2}{2}[/tex] ² + 2.([tex]\frac{d1}{2}[/tex].[tex]\frac{d2}{2}[/tex].cos[tex]\varphi[/tex])

Ще напиша само за a.Разликата е огромна и въобще не мога да схвана откъде си ги получил твойте.
А да не си имал в предвид вместо ▲AOC-▲AOB.


Ето какво получавам аз.Този път май го нацелих отговора.

a²-b²=([tex]\frac{d1}{2}[/tex]²)+([tex]\frac{d2}{2}[/tex]²)+2.[tex]\frac{d1}{2}[/tex].[tex]\frac{d2}{2}[/tex].cos[tex]\varphi[/tex]-([tex]\frac{d1}{2}[/tex]²)-([tex]\frac{d2}{2}[/tex]²)+2.[tex]\frac{d1}{2}[/tex].[tex]\frac{d2}{2}[/tex].cos[tex]\varphi[/tex]

a²-b²=2.[tex]\frac{d1}{2}[/tex].[tex]\frac{d2}{2}[/tex].[tex]cos\varphi [/tex]+ 2.[tex]\frac{d1}{2}[/tex].[tex]\frac{d2}{2}[/tex].[tex]cos\varphi [/tex]

a²-b²=2.(2.[tex]\frac{d1}{2}[/tex].[tex]\frac{d2}{2}[/tex].[tex]cos\varphi [/tex])

a²-b²=4.[tex]\frac{d1}{2}[/tex].[tex]\frac{d2}{2}[/tex].[tex]cos\varphi [/tex]

a²-b²=d1.d2.cos[tex]\varphi[/tex]

Правилно ли съм го смятал?

[ObsCure]

Това е!

[Goones]

Ами ти тези твойте уравнения как ги беше получил така?

[ObsCure]

Единствената разлика е,че сумирах диагоналите под знаменател 4.

[Goones]

Извинявай за тъпия въпрос ама каква ще рече че си сумирал диагоналите под знаменател 4?

[ганка симеонова]

Goones

ако провяиш малко търпение ще ти я напиша

[ObsCure]

[ганка симеонова]

означаваме:
[tex] AB=a, AD=b, AO=OC=x; BO=OD=y, \angle AOD=\varphi , \angle AOB=180^\circ -\varphi =>cos(180-\varphi )=-cos\varphi [/tex]
прилагаме кос. т- ма за [tex]\Delta AOB=>[/tex]
[tex]a^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy(-cos\varphi )=a^{2}=x^{2}+y^{2}+2xycos\varphi..(1) [/tex]
прилагаме кос. т- ма за [tex] \Delta AOD=>[/tex]
[tex] b^{2}=x^{2}+y^{2}-2xycos\varphi ..(2) [/tex]
вадим почленно (1) и (2) и получаваме:
[tex] a^{2}-b^{2}=4xycos\varphi =4\frac{d_{1}}{ 2}\frac{d_{2}}{2 }cos\varphi =d_{1}d_{2}cos\varphi [/tex]

[Goones]

Благодаря на всички за помощта.