да се реши...

[ганка симеонова]

да се реши уравнението:
[tex] sin^{5}x+cos^{5}x+\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x }=0 [/tex]

[Реклама]

[Relinquishmentor]

[tex] sin^{5}x+cos^{5}x+\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x }=0[/tex]

Допустими стойности: [tex]x \ne k\frac{\pi }{2}\, , k\in \mathbb Z [/tex]

[tex]sin^6 x cos x + cos^6 x sin x + cos x + sin x = 0[/tex]

[tex](1+sin^6 x)cos x + (1+cos^6 x)sin x = 0 /cos x (1+sin^6 x)[/tex]

[tex]\tan x \frac{1+cos^6 x}{1+sin^6 x} = - 1[/tex]

Оттук, между другото се вижда, че евентуалните корени на уравнението трябва да се намират или във II или в IV квадрант.

Разглеждаме функциите [tex]f = \frac{1+cos^6 x}{1+sin^6 x}[/tex] и [tex]g = - \cot x[/tex] .

[tex]f' = \frac{-6 cos^5 x sin x - 6 sin^5 x cos x}{(1+sin^6 x)^2} > 0[/tex], тъй като кос и син имат различни знаци

[tex]g' = \frac{1}{sin ^2x} > 0[/tex]

Следователно функциите са монотонно растящи и се засичат само в една точка от интервалите [tex](\frac{\pi }{2};\pi ) & (-\frac{\pi }{2};0 ) [/tex], която намираме с непосредствена проверка.

Отг.[tex] x = -\frac{\pi }{4} + k\pi \, , k\in \mathbb Z [/tex]

[r2d2]

Ако съм разбрал правилно:

имаме две растящи функции -> те се пресичат само един път? Това ли е твърдението?

[ганка симеонова]

r2d2 е прав. вземи пример с х^2 и х^3. в интервала [0; +безкр.] и двете са растящи, но имат две пресечни точки- в х=0 и х=1

[Relinquishmentor]

Добре, хванахте ме, че не съм учил математика в 12 клас.
Как ще докажем единственост на решението в интервала ?

[ганка симеонова]

вчера видях тази задача, в сп"математика", бр. 2, като примерна от темата за СУ
ето и моето решение. първо отделно ще преобразувам сбора от петите степени, който хич не ми харесва
[tex] \sin^{3}x+\cos^{3}x=(\sin^{3}x+\cos^{3}x)(\sin^{2}x+\cos^{2}x)=\sin^{5}x+\sin^{3}x\cos^{2}x+\cos^{3}x\sin^{2}x+\cos^{5}x [/tex]
оттук изразяваме сборa от 5-тите степени, а сумата от третите я свеждаме до израз, в който участва сборът и произведението на синуса и косинуса:
[tex](\sin x+\cos x)(1-3\sin x\cos x)-\sin^{2}x\cos^{2}x(\sin x+\cos x)+\frac{\sin x+\cos x}{\sin x\cos x}=0[/tex]

тогава вадим общ множител, а в останалата част полагаме [tex]\sin x\cos x=t \ , \ t\in [-0,5 \ ; \ 0,5][/tex]

[ARXANGEL]

Опростете 1-2синус на квадрат от алфа+косинус2от алфа=?

//LaTeX || sidebar tags!!!

[ARXANGEL]

Моля помогнете ми - слаб съм в Математиката, но на тема Философия мога да помогна!
Та към въпроса - Борим се тук с едно опростяване, ама май няма да се преборим, така че моля за помощ от публиката :

Опростете 1-2sin²ά+cos2ά =?

[Fed]

1 - 2sin²α+cos2α = 1 - 2sin²α + cos²α - sin²α = 1 + cos²α - 3sin²α = sin²α + cos²α + cos²α - 3sin²α = 2cos²α - 2sin²α = 2(cos²α - sin²α) = 2cos2α

Като разбира се има и по лесен начин, който сам ще откриеш.

[lazarkina]

усложието и е:
sin(α-β)=?
sinα=-2/5 α E III кв; cosα<0
cosβ=4/5 β E IV кв; sinβ<0