изследване на сходимост на несобствени интеграли

[van21]

здравейте пак,нещо с каквато и задача да се захвана не я дакарвам до края.става въпрос сега за несобствените интеграли,на лекциите нещо.... та ето ги-

Да се пресметнат или да се установи тяхната разходимост?

[tex]\int_{1}^{ \infty}\frac{dx}{x+x^3}[/tex],[tex]\int_{1}^{\infty}\frac{arctgx}{x^2}dx[/tex]

Да се изследват за сходимост и ако са сходящи да се пресметнат:

[tex]\int_{3}^{\infty}\frac{dx}{(x-3)(x+1)}[/tex],[tex]\int_{1}^{ \infty}\frac{dx}{\sqrt{x-1}(x+2)}[/tex]

ей това са.само да не прекалявам с тез въпроси.а иначе с определените и неопределени интеграли са готови .Благодаря пак,пак..и за сега ако някои се включи пак Голямо Благодаря!!!!

[Реклама]

[ганка симеонова]

не съм специалист по сходимост на интеграли, но ще направя някакъв опит с първия пример.
[tex]I= \int_{1}^{ \infty }\frac{1}{x+x^{3} }dx=\lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b }\frac{1}{x+x^{3} }dx [/tex]
ще решим първо неопределения интеграл. по метода на неопределените коефициенти представяме подинтегралната функция, като разлика на две функции. съответно дадения интеграл- като разлика на два интеграла:
[tex]\int_{}^{ } \frac{1}{x }dx-\int_{}^{ } \frac{x}{x^{2}+1 }dx=\ln x-\frac{1}{ 2}\int_{}^{ }\frac{dx^{2}+1}{x^{2}+1 }=\ln x-\frac{1}{ 2}\ln(x^{2}+1)= [/tex]

[tex]=\ln\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}[/tex] тогава

[tex] I=\lim_{b \to \infty}(\ln\frac{b}{\sqrt{b^{2}+1}}-\ln\frac{1}{\sqrt{1^{2}+1}})=\ln1-\ln\frac{1}{2 }=-\ln\frac{1}{2 }=\ln2 [/tex]

[van21]

леле,определените и неопределените интеграли ряпа да ядат.тези несобствени са мн мн по трудни.от няколко часа стоя на тях и направооо.този горния го разбрах,но къде и другите да ми бяха толкова ясни ако може някои да помогне МОЛЯЯ

[tex]\int_{3}^{\infty}\frac{dx}{(x-3)(x+1)}[/tex]

[tex]\int_{1}^{ \infty}\frac{dx}{\sqrt{x-1}(x+2)}[/tex]

направо вече съм

[Infernum]

Сходимостта на посочените несобствени интеграли може да се изследва, като се използва принципа за сравняване на несобствени интеграли, а именно, като се сравнят дадените несобствени интеграли с несобствени интеграли, сходимостта на които е предварително известна. За целта удобно е да се използват основните несобствени интеграли

[tex]\int_{a}^{b}\frac{dx}{(x-a)^p}=\{\frac{1}{(1-p)(b-a)^{p-1}} \ , \ p<1 \\ \infty \ , \ p\ge 1 [/tex]

и

[tex]\int_{c}^{\infty }\frac{dx}{(x-a)^p}=\{\frac{1}{(p-1)(c-a)^{p-1}} \ , \ p>1 \ , \ c>a \\ \infty \ , \ p \le 1[/tex]

Препоръчвам ти изследването на тези основни интеграли да извършиш самостоятелно!

Ако се разгледа интеграла [tex]\int_{1}^{\infty }\frac{dx}{x+x^3},[/tex] може да се види, че интеграционният интервал е безкраен, а знаменателят, който няма особености върху интеграционния интервал, е сравним с полином от трета степен. Това навежда на мисълта, че този интеграл е по-скоро сходящ и затова е уместно да се сравни с някой сходящ несобствен интеграл (от вида на втория основен интеграл при подходящо подбрани стойности на параметите c, а и p).

Като се вземе предвид, че x > 1, и x + x³ > x ³, се вижда, че [tex]\frac{1}{x+x^3}<\frac{1}{x^3}[/tex] и тогава е в сила неравенството

[tex]\int_{1}^{\infty }\frac{dx}{x+x^3}<\int_{1}^{\infty }\frac{1}{x^3}[/tex]

Тъй като интегралът стоящ от дясната страна е сходящ (той е от типа на втория основен несобствен интеграл при c = 1, a = 0, p = 3), съгласно принципа за сравняване интегралът [tex]\int_{1}^{\infty }\frac{dx}{x+x^3}[/tex] е сходящ. Неговата стойност бе пресметната в предния пост.

Интегралът [tex]\int_{3}^{\infty}\frac{dx}{(x-3)(x+1)}[/tex] е несобствен интеграл от по-общ вид. Той е с безкраен интеграционен интервал и с особености на подинтегралната функция в този интервал. За да се сведе изследването на сходимостта му до изследване на сходимост на несобствени интеграли по-прост вид, последният интеграл се разлага на сума от два интеграла:

[tex]\int_{3}^{\infty}\frac{dx}{(x-3)(x+1)}=\int_{3}^{c}\frac{dx}{(x-3)(x+1)}+\int_{c}^{\infty}\frac{dx}{(x-3)(x+1)} \ , \ c>3 [/tex]

И така, ако интегралите стоящи от дясната страна на последното равенство са сходящи, то и интегралът стоящ отляво, също ще бъде сходящ. Вижда се че интегралите от дясно са по-прости за изследване. Единия има особеност в граничната точка х = 3, а другия е само с безкраен интеграционен интервал. За първия интеграл имаш

[tex]\int_{3}^{c}\frac{dx}{(x-3)(x+1)}=A\int_{3}^{c}\frac{dx}{(x-3)}+B\int_{3}^{c}\frac{dx}{(x+1)}=A \lim_{t \to 3^+}\ln \frac{c-3}{t-3} +B\ln \frac{c+1}{3+1}[/tex]

Очевидно този интеграл е разходящ, и понеже втория е сходящ (проверете!) следва, че изходния интеграл е разходящ.

Аналогично се изследва сходимостта на третия интеграл:

[tex]\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x-1}(x+2)}=\int_{1}^{c}\frac{dx}{\sqrt{x-1}(x+2)}+\int_{c}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x-1}(x+2)} \ , \ c>1[/tex]

Тъй като x > 1 и x - 1 < x+2, то [tex]\frac{1}{x-1} > \frac{1}{x+2}[/tex] или [tex]\frac{1}{\sqrt{x-1}(x-1)} > \frac{1}{\sqrt{x-1}(x+2)}.[/tex]

Тогава [tex]\int_{c}^{\infty }\frac{dx}{\sqrt{x-1}(x+2)} < \int_{c}^{\infty}\frac{dx}{(x-1)^{\frac{3}{ 2}}}.[/tex]

Интегралът стоящ отдясно е сходящ. Той има вида на втория основен несобствен интеграл при c > 1, a = 1, p = 3/2. Следователно съгласно принципа за сравнение [tex]\int_{c}^{\infty }\frac{dx}{\sqrt{x-1}(x+2)}[/tex] е сходящ.

Остана да се изследва интегралът [tex]\int_{1}^{c}\frac{dx}{\sqrt{x-1}(x+2)} \ , \ c>1.[/tex]

От √(x+1)(x+2) > √(x+1) се получава [tex]\frac{1}{\sqrt{x-1}(x+2)} < \frac{1}{\sqrt{x-1}}.[/tex]

Тогава [tex]\int_{1}^{c}\frac{dx}{\sqrt{x-1}(x+2)} < \int_{1}^{c}\frac{dx}{(x-1)^{\frac{1}{ 2}}}.[/tex]

Интегралът стоящ отдясно има вида на първия основен несобствен интеграл при а = 1, b = c, p = 1/2 и следователно е сходящ! Следователно съгласно принципа за сравнение [tex]\int_{1}^{c}\frac{dx}{\sqrt{x-1}(x+2)}[/tex] е сходящ.

Това означава че изходният несобствен интеграл е сходящ, като сума на два сходящи несобствени интeграла.
За теб остава да пресметнеш стойността му, както и да питаш, ако нещо не си разбрал.

[van21]

имам 1 въпрос малко със за каснение,но все пак.как да пресметна стоиностите на 2 последни интеграла-дето се решават аналогично.

[Infernum]