Какъв е триъгълникът?

[Nona]

Определете вида на триъгълника, ако:

а) h_a+h_b+h_c=9r;

б) r=1 и h_a, h_b, h_c са цели числа;

в) [tex]\frac{p}{r_a}, \ \frac{p}{r_b}, \ \frac{p}{r_c}[/tex] са цели числа ( r_a, r_b, r_c - радиуси на външновписаните окръжности).

[Реклама]

[ганка симеонова]

б) - равностранен

[ганка симеонова]

тръгнах, от едно известно равенство..
[tex] \frac{1}{h_{a} }+\frac{1}{h_{b} }+\frac{1}{h_{c} }=\frac{1}{r }...[/tex]

[Pinetop Smith]

а) Делим на r. [tex]\frac{h_a}{r} = \frac{\frac{2S}{a}}{\frac{2S}{a+b+c}} = \frac{a+b+c}{a}[/tex], aналогично за другите. Тогава имаме

[tex]\frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} = 6 <=> \frac{(a-b)^2}{ab} + \frac{(b-c)^2}{bc} + \frac{(c-a)^2}{ca} = 0[/tex], откъдето a = b = c.

[Nona]

Браво, Ники

[ганка симеонова]

ne

[ганка симеонова]

ако допуснем, че са 2, 3, 6=>
[tex] a<b+c=>\frac{1}{h_{a} }< \frac{1}{h_{b} }+\frac{1}{h_{c} }=>\frac{1}{2 }<\frac{1}{3 }+\frac{1}{6 } [/tex] противоречие

[Nona]

Хайде, лесни са

Жокер: Докажете, че в) е правоъгълен триъгълник.

[ганка симеонова]

интересното е, че във в) котангенсите на половинките и на трите ъгъла са цели числа..

[Nona]

Ако r=1 и h_а, h_b, h_c са цели числа, то триъгълникът е равностранен.

Доказателство: Височината във всеки триъгълник е по-голяма от диаметъра на вписаната окръжност.
Затова дължините на височините са цели числа, по-големи от 2. Да допуснем, че триъгълникът е разностранен. Нека а да е най-голямата страна в него. Тогава 3а>2р=2p.r=2S=a.h_a => h_a<3 - противоречие.

[Nona]

Ако [tex]\frac{p}{r_a}, \ \frac{p}{r_b}, \ \frac{p}{r_c}[/tex] са цели числа, триъгълникът е правоъгълен.

Доказателство: Знаем, че pr=(p-a)r_a=(p-b)r_b=(p-c)r_c, откъдето [tex]\frac{p}{r_a}=\frac{p}{r}-\frac{a}{r}, \ \frac{p}{r_b}=\frac{p}{r}-\frac{b}{r}, \ \frac{p}{r_c}=\frac{p}{r}-\frac{c}{r}[/tex]. От условието на задачата левите части на равенствата са цели числа, следователно сумата им [tex]\left(\frac{p}{r}\right)[/tex] също е цяло число. Затова a, b, c са кратни на r. Ако положим r=1, получаваме [tex](p-a)(p-b)(p-c)=p.[/tex] Означаваме с x, y и z разстоянията от върховете А, В и С до допирните точки на страните с вписаната окръжност и получаваме уравнението [tex]xyz=x+y+z[/tex] с решения в цели числа (1, 2, 3) и останалите пермутации. Следователно страните на триъгълника са 3, 4 и 5.