Втори кръг на състезанието на Math10 за ученици

[Мирослав Стоенчев]

Втори кръг на състезанието на Math10 за ученици



Тема 2 за 8-9 клас


Задача 1. Нека [tex]l_{a},l_{b},l_{c},\ r_{a},r_{b},r_{c}[/tex] са съответно дължините на вътрешните ъглополовящи и радиусите на външновписаните окръжности на произволен триъгълник.
Да се докаже, че [tex]\ \frac{l_{a}}{r_{b}+r_{c}}+\frac{l_{b}}{r_{c}+r_{a}}+\frac{l_{c}}{r_{a}+r_{b}}\le \frac{3}{2}.[/tex]

Задача 2. Даден е остроъгълен [tex]\triangle ABC,\ l_{c},\ L_{c}[/tex] са съответно вътрешната и външната ъглополовящи на [tex]\angle ACB.[/tex] Нека [tex]l_{c}\cap AB=L,\ L_{c}\cap AB^{\to}=K.[/tex] От точка [tex]K[/tex] са построени допирателните [tex]KM,\ KN[/tex] към описаната окръжност на [tex]\triangle ABC.[/tex]
Да се докаже, че [tex]L\in MN.[/tex]

Задача 3. Нека [tex]n>1[/tex] е естествено число. Да се докаже, че съществуват безбройно много двойки [tex]\ (a,b)\ [/tex] от естествени числа, за които числото [tex]\ \frac{(2a+1)^2+(2b+1)^2}{2n^{2}(a^2+b)+1}\ [/tex] е цяло.


Задача 4. Даден е остроъгълен триъгълник [tex]\triangle ABC,\ |CA|\ne |CB|.[/tex] Да се докаже, че центровете на вписаната и описаната окръжности на триъгълника и петата на височината от [tex]C[/tex] към [tex]AB,[/tex] лежат на една права, тогава и само тогава, когато [tex]R=r_{c}.[/tex] ([tex]R,\ r_{c}[/tex] са съответно радиусите на описаната и външновписаната за [tex]\angle ACB[/tex] окръжности).

Задача 5. Множеството [tex]A_{n}=\left\{1,2,...,n\right\}[/tex] ще наричаме "[tex]p-[/tex] множество", ако съществуват такива множества [tex]B[/tex] и [tex]C,[/tex] че:
[tex]i)\ B\cap C=\emptyset[/tex]
[tex]ii)\ B\cup C=A_{n}[/tex]
[tex]iii)\ \sum_{b\in B}b^p=\sum_{c\in C}c^p[/tex]

а) Да се намери най-малкото [tex]n,[/tex] за което [tex]A_{n}[/tex] e "[tex]3-[/tex] множество"
б) Да се докаже, че ако [tex]A_{n}[/tex] e "[tex]3-[/tex] множество", то [tex]A_{n}[/tex] e и "[tex]2-[/tex] множество".

Задача 6. Да се докаже, че на шахматна дъска с размери [tex]2008\times 2008,[/tex] могат да се поставят [tex]2008[/tex] "дами", така че никои две от тях да не се атакуват.

Задача 7. Множеството [tex]A_{n}=\left\{1,2,...,n\right\}[/tex] ще наричаме "[tex]p-[/tex] множество", ако съществуват такива множества [tex]B[/tex] и [tex]C,[/tex] че:
[tex]i)\ B\cap C=\emptyset[/tex]
[tex]ii)\ B\cup C=A_{n}[/tex]
[tex]iii)\ \sum_{b\in B}b^p=\sum_{c\in C}c^p[/tex]

Да се докаже, че за всяко естествено число [tex]p[/tex] съществува такова естествено число [tex]n,[/tex] че [tex]A_{n}[/tex] е "[tex]p-[/tex] множество".



Тема 2 за 10-11-12 клас



Задача 1. Нека [tex]a\ge \frac{4}{\sqrt{3}}[/tex] е реален параметър. Да се докаже, че уравнението [tex]\ a^4x^4-4a^2x^3+2a^2x^2-4x-3=0[/tex]
има точно два реални корена, по-големият от които принадлежи на интервала [tex]\left\[\frac{4}{a^2}\ ,\ \frac{2}{a}\right\).[/tex]


Задача 2. Множеството [tex]A_{n}=\left\{1,2,...,n\right\}[/tex] ще наричаме "[tex]p-[/tex] множество", ако съществуват такива множества [tex]B[/tex] и [tex]C,[/tex] че:
[tex]i)\ B\cap C=\emptyset[/tex]
[tex]ii)\ B\cup C=A_{n}[/tex]
[tex]iii)\ \sum_{b\in B}b^p=\sum_{c\in C}c^p[/tex]

а) Да се намери най-малкото [tex]n,[/tex] за което [tex]A_{n}\ [/tex] e "[tex]2-[/tex] множество"
б) Да се докаже, че ако [tex]A_{n}[/tex] e "[tex]3-[/tex] множество", то [tex]A_{n}[/tex] e и "[tex]2-[/tex] множество".

Задача 3. [tex]ABCD[/tex] е четириъгълник с медицентър[tex]\ G,\ [/tex] който е вписан в окръжност [tex]k(O,R)[/tex] и описан около окръжност [tex]w(I,r).[/tex]
Да се докаже, че[tex]\ |OG|^2+|GI|^2\le |OI|^2.[/tex]


Задача 4. Даден е остроъгълен [tex]\triangle ABC,\ l_{c},\ L_{c}[/tex] са съответно вътрешната и външната ъглополовящи на [tex]\angle ACB.[/tex] Нека [tex]l_{c}\cap AB=L,\ L_{c}\cap AB^{\to}=K.[/tex] От точка [tex]K[/tex] са построени допирателните [tex]KM,\ KN[/tex] към описаната окръжност на [tex]\triangle ABC.[/tex]
Да се докаже, че [tex]L\in MN.[/tex]


Задача 5. За всяко естествено число [tex]n,[/tex] с [tex]d(n)[/tex] означаваме броя на естествените делители на [tex]n.[/tex]
Да се докаже, че за произволно естествено число [tex]m,[/tex] съществуват безбройно много двойки [tex](k,n)[/tex] от естествени числа, такива че [tex]n[/tex] има точно [tex]m[/tex] различни прости делители и [tex]n=(d(n))^k.[/tex]


Задача 6. Да се докаже, че на шахматна дъска с размери [tex]2024\times 2024,[/tex] могат да се поставят [tex]2024[/tex] "дами", така че никои две от тях да не се атакуват.

Задача 7. Множеството [tex]A_{n}=\left\{1,2,...,n\right\}[/tex] ще наричаме "[tex]p-[/tex] множество", ако съществуват такива множества [tex]B[/tex] и [tex]C,[/tex] че:
[tex]i)\ B\cap C=\emptyset[/tex]
[tex]ii)\ B\cup C=A_{n}[/tex]
[tex]iii)\ \sum_{b\in B}b^p=\sum_{c\in C}c^p[/tex]

Да се докаже, че за всяко естествено число [tex]p[/tex] съществува такова естествено число [tex]n,[/tex] че [tex]A_{n}[/tex] е "[tex]p-[/tex] множество".


Време за работа - 1 месец. Всяка задача се оценява със 7 точки. Задачите са съставени от М Стоенчев. Ще помоля участниците да изпращат решенията си, а също и частичните си резултати по задачите, под формата на ЛС или на e-mail: miro_ost@mail.bg.

[Реклама]