докажете, че...

[ганка симеонова]

даден е триъгълник АВС ( със стандартни означения)
а)да се докаже, че [tex] sin(\alpha /2) \le \frac{a}{2\sqrt{bc} } [/tex]
кога се достига равенството?
б) да се докаже, че отношението на радиуса на вписаната и радиуса на описаната около триъгълника окръжност не надминава 0,5. кога се достига равенство?

[Реклама]

[ObsCure]

а) Започваме с косинусовата теорема

a²=b²+c²-2bc.cosα

Ще използваме,че

cosα=cos²α/2-sin²α/2=1-2sin²α/2

И така,изразяваме sinα/2 и получаваме

sinα/2=[tex]\frac{\sqrt{2bc-b^{2}-c^{2}+a^{2}}}{2\sqrt{bc}}[/tex]

Съгласно условието,трябва да докажем,че

sinα/2<[tex]\frac{a}{2\sqrt{bc}} <=>\frac{\sqrt{2bc-b^{2}-c^{2}+a^{2}}}{2\sqrt{bc}}[/tex]<[tex]\frac{a}{2\sqrt{bc}}[/tex]

Умножаваме с 2[tex]\sqrt{bc}[/tex]>0 и достигаме до

[tex]\sqrt{2bc-b^{2}-c^{2}+a^{2}}[/tex]<a

След повдигане на квадрат...

2bc-b²-c²+a²<a²

2bc-b²-c²<0

-(b-c)²<0 /.(-1)

(b-c)²>0

което е винаги изпълнено,и с което доказателството е извършено.Що се отнася до ПОДусловието на ПОДточката,равенство се достига само при равностранен триъгълник.

[ганка симеонова]

при а) равенство се достига при b=c ( т.е., когато триъгълникът е равнобедрен) не е задължително, да е непременно равностранен..

[ганка симеонова]

второто неравенство се доказва, с непосредствено прилагане на формулата на ойлер, за разстоянието между центровете на вписаната и описаната окръжности
[tex] d^{2}=R^{2}-2Rr\ge 0 => R^{2}\ge 2Rr =>R\ge 2r=>\frac{r}{R }\le 2 [/tex]
тук вече равенство се достига, само ако триъгълникът е равностранен

[r2d2]

Доказателство на 2 реда и още нещо.

[ObsCure]

Да,и аз си спомних,че 2рото неравенство е едно от най-важните следствия от формулата на Ойлер за бла бла бла.Благодаря за горната поправка

[r2d2]

Не ни трябва никаква ф-ла!
Да разгледаме окръжността, която минава през средите на страните. Радиусът и е R/2 и е сигурно, че е с радиус >= на радиуса на вписаната!