Принцип на Дирихле

soldier_vl

Тъй като не виждам много задачи с Принцип на Дирихле, реших да направя тема, тук може да пускаме и да обсъждаме подобни задачи. Като се решът тези задачи ще пусна още!!!
зад40. Дадени са 7 отсечки, дължината на всяка от които е по-голяма от 10см и е по-малка от 1м. Да се докаже, че с поне 3 от отсечките може да се построи триъгълник.
зад41. Да се докаже, че за всеки изпъкнал многостен поне 2 от стените му имат равен брой страни.
зад42. Девет от върховете на правилен икосагон(20-ъгълник) са оцветени в червено. Да се докаже, че съществува равнобедрен триъгъник с червени върхове.

Реклама

borku · Пуснато на: Thu Apr 03, 2008 12:49 am Заглавие:

Тези задачи изучават ли се в училище и могат ли да се паднат такива на кандидат студентски изпит ?!

soldier_vl · Пуснато на: Thu Apr 03, 2008 5:52 pm Заглавие:

На кандидат-студенски изпити мисля, че не може да се падне, но на състезания за 10-11клас може да го има Wink

Ma6irinata · Пуснато на: Sun Apr 20, 2008 6:50 pm Заглавие:

За зад.40 : Допускаме ,че това е невярно , т.е няма 3 отсечки , който могат да образуват триъгълник . Взимаме най-малките 2 отсечки . По условие тяхната дължина е по-голяма от 10 см. За да не може да се образува триъгълник , трябва третата страна да е по-голяма от 10+10 см => всички останали 5 страни са по-големи от 20 см . Аналогично , четвъртата страна трябва да е по - голяма от сбора на третата и на втората , т.е по-голяма от 30 см ; петата е по-голяма от 30+20 =50см ;шестата е по-голяма от 50+30=80 см;а седмата е по-гоялма от 130 см >100 см=1м -> противоречие с условието = > допускането ни е било грешно => ако имаме отсечки, дължината на всяка от които е по-голяма от 10см и е по-малка от 1м , с поне 3 от отсечките може да се построи триъгълник.
Не знам дали използвам точно принцип на Дирихле и дали съм обяснил решението добре , но няма значение.

Ma6irinata · Пуснато на: Sat Apr 26, 2008 6:08 pm Заглавие:

За зад.42 : Взимаме един червен връх, за определеност нека той да е А . За да се получи равнобедрен триъгълник , трябва другите два върха да са на равни разстояния от А , т.е разстоянието между другите два върха да е нечетно число , и те да са симетрични относно правата , минаваща през центъра на икосагона . Например :

Имаме още 8 червени точки , който да поставим на 19 места , така че да нямаме две между тях , който да са на нечетно разстояние . Слагаме една червена точка във върха В - до този , избран от нас . Тогава точката Т не може да се оцвети => оцветяваме S в червено => следващата червена точка може да е D , след това Q,F,O,M,J,K.
Но тогава триъгълник BMK ще се окаже равнобедрен => К не е червена.
Но и триъгълник DOM ще е равнобедрен => ако т. D е червена , то триъгълник DOM e равнобедрен и условието е изпълнено.
Ако т.D не е червена , то деветата точка,която трябва да е червена , ще образува равнобедрен триъгълник с някоя от другите точки и А. => има поне един червен равнобедрен триъгълник.
Най - вероятно има и по - добро решение Confused

.

martosss · Пуснато на: Sat Apr 26, 2008 9:30 pm Заглавие:

soldier_vl · Пуснато на: Mon Apr 28, 2008 1:10 pm Заглавие:

Зад. 42
Да номерираме върховете на икосагона последователно с числата от 1 до 20 по посока на часовниковата стрелка. Върховете с номера 1,5,9,13 и 17; 2,6,10,14 и 18; 3,7,11,15 и 19; 4,8,12,16 и 20 образуват 4 правилни петоъгълника. Понеже оцветените върхове са 9, от принципа на Дирихле следва, че поне 3 от тези точки са върхове на един от петоъгълниците. От друга страна, кои да е 3 върха в един правилен петоъгълник образуват равнобедрен триъгълник и това решава задачата.

Ma6irinata · Пуснато на: Mon Apr 28, 2008 1:45 pm Заглавие:

А зад. 41 ?

Methuselah · Пуснато на: Wed Apr 30, 2008 10:52 am Заглавие:

Имаме многостен с n стени.
Всяка стена има поне 3 страни.
Всяка стена има по-малко от n страни.
Т.е. имаме n стени за най-много n-3 позиции с различен брой страни.
От Дирихле => поне 2 от стените имат равен брой страни.