конкурсна задача, от 1990 год.

[ганка симеонова]

дадена е функцията
[tex] f(x)=x^{2}-2(m-\frac{1}{2 })x+2m^{2}-2m+3 [/tex], където [tex] m\in R [/tex]
а) да се намерят стойностите на m, за които неравенството [tex] f(x)>x[/tex] е изпълнено за всяко реално число х.
б) да се намери най- голямата стойност на функцията
[tex] y=2^{\frac{1}{\sqrt{f(x)-x}} } [/tex]
ако стойността на m е равна на тангенса на най- малкия положителен корен на уравнението
[tex] 2sin^{2}x-(1+\sqrt{3})sin2x+\sqrt{3}cos2x+\sqrt{3}=0 [/tex]
в) да се докаже, че уравнението [tex] f[f(x)]=x [/tex] няма реални корени

[Реклама]

[soldier_vl]

Интересна задача! Въпреки че не е много трудна, обхваща много материал, такива трябва да са задачите на кандидат-студентските изпити според мен.

[cub]

[tex] x^{2} + (-2m+1) x+2m^{2}-2m+3>x[/tex]
[tex] x^{2} +(-2m+1-1)x+2m^{2}-2m+3>0[/tex]
[tex] D= 4m^{2}-8m^{2}+8m-12= -4( m^{2}-2m+3) < 0[/tex]
[tex] m^{2}-2m+3>0[/tex]
[tex] D_{1}=4-12<0[/tex]
[tex] f(x) > x [/tex] за вс. [tex]m[/tex]

[cub]

[tex] 2sin^{2}x-(1+\sqrt{3})sin2x+\sqrt{3}cos2x+\sqrt{3}=0 [/tex]
[tex] 2sin^{2}-2sinxcosx-\sqrt{3}.2sinxcosx+\sqrt{3}.2.cos^{2}x=0[/tex]
[tex] 2sinx(sinx-cosx)-\sqrt{3}.2cosx(sinx-cosx)=0[/tex]
[tex]-4 (sinx-cosx)(cos(\frac{\pi}{6}) cosx-sin( \frac{\pi}{6})sinx)=0[/tex]
[tex] \sqrt{2}sin(\frac{\pi }{4 }-x)=0[/tex]
[tex] x_{1}=\frac{\pi }{ 4}+2k\pi [/tex]
[tex] x_{2}=3\frac{\pi }{4 }+2k\pi [/tex]
[tex] cos(\frac{\pi }{ 6} +x)=0[/tex]
[tex] x_{3}=\frac{\pi }{ 3} +2k\pi [/tex]
[tex] x_{4}=-2\frac{\pi }{ 3} +2k\pi [/tex]

[tex] m= tg (\frac{\pi }{4 })=1 [/tex]

[Relinquishmentor]

[tex] f(x)=x^{2}-2(m-\frac{1}{2 })x+2m^{2}-2m+3 [/tex]

[tex]f(x) - x = x^2 - 2\left(m-\frac{1}{2}\right)x + 2m^2-2m+3 - x > 0[/tex]

[tex]x^2 - 2mx + 2m^2 - 2m + 3 > 0 \Leftrightarrow D<0[/tex]

[tex]D = 4m^2 - 8m^2 + 8m - 12<0[/tex]
[tex]-4m^2 + 8m - 12<0[/tex]
[tex]m^2 - 2m + 3>0 \forall m \Rightarrow f(x)>x \forall m \in \mathbb{R} [/tex]

[tex] 2sin^{2}x-(1+\sqrt{3})sin2x+\sqrt{3}cos2x+\sqrt{3}=0 [/tex]

[tex]1 - cos 2x - sin 2x - \sqrt{3} sin 2x + \sqrt{3} cos 2x + \sqrt{3} = 0[/tex]

[tex](\sqrt{3} - 1) cos 2x - (\sqrt{3} + 1) sin 2x + (\sqrt{3} + 1) = 0[/tex]

[tex](cos^2 x - sin^2 x)(\sqrt{3} - 1) + (\sqrt{3} + 1)(1 - sin 2x) = 0[/tex]

[tex](cos x - sin x)(cos x + sin x)(\sqrt{3} - 1) + (\sqrt{3} + 1)(cos x - sin x)^2 = 0[/tex]

[tex](cos x + sin x)(\sqrt{3} - 1) + (cos x - sin x) (\sqrt{3} + 1) = 0[/tex]

[tex]\sqrt{3} cos x - cos x + \sqrt{3} sin x - sin x + \sqrt{3} cos x + cos x - \sqrt{3} sin x - sin x = 0[/tex]

[tex]\sqrt{3} cos x - sin x = 0 /cos x[/tex]

[tex]\sqrt{3} - \tan x = 0 \Rightarrow \tan x = \tan \left(\frac{\pi }{3} \right)[/tex]

[tex]x = \frac{\pi }{3} + k\pi , k \in \mathbb{Z}[/tex]

[tex]cos x - sin x = 0 /cos x[/tex]

[tex]\tan x = 1 \Rightarrow \tan x = \tan \left(\frac{\pi }{4}\right)[/tex]

[tex]x = \frac{\pi }{4} + k\pi[/tex]

[tex]\frac{\pi }{4} < \frac{\pi }{3}[/tex]

[tex]\tan \frac{\pi }{4} = 1 [/tex]

[tex]y = 2^{\frac{1}{\sqrt{x^2 - 2x + 3 }}[/tex]

Показателна функция с основа 2 е растяща, така че е достатъчно да намерим най-голямата стойност само на степенния показател.

[tex]g = \frac{1}{{\sqrt{x^2 - 2x + 3}}[/tex]

[tex]g' = - \frac{1}{{x^2 - 2x + 3}} \frac{2x - 2 }{2{\sqrt{x^2 - 2x + 3}} [/tex]

При [tex]x = 1[/tex] имаме екстремум. При [tex]x < 1[/tex] производната е положителна, а при [tex]x > 1[/tex] - отрицателна. Следователно екстремумът е максимум.

[cub]

Relinquishmentor, погледни си 4 и 5 ред от тригонометричните преобразувания:
[tex] 1-sin2x \neq (sinx+cosx)^{2}[/tex]
[tex] (sinx+cosx)^{2}= 1+sin2x[/tex]
[tex] 1-sin2x=sin^{2}-2sinxcosx+cos^{2}=(sinx-cosx)^{2}[/tex]

[ганка симеонова]

m=1
кой ще реши третото подусловие?
а и второто все още не е решено...

[soldier_vl]

Ето далечен жокер за 3тото под условие http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=3669&start=0 Тема 2, зад.4
Ако никой не го реши ще пусна решението вторник сряда, защото заминавам за Ловеч, където между другото има състезание по математика между езикови гимназии и ако някой ходи може да пусне условията след това, защото не знам дали ще ги намера тъй като няма да участвам след като се пенсионирах миналата година

[Relinquishmentor]

cub, благодаря за поправката (леле какви поразии прави един минус )

Функционалната стойност при екстремума е [tex]\sqrt[\sqrt{2} ]{2} [/tex]

[b1ck0]

Само че такива задачи вече "избягват" да ги дават по изпити ...

[ганка симеонова]

относно в) да допуснем,ч е [tex] x_{0}\in R [/tex] е корен на уравнението [tex] f[f(x)]=x[/tex], т.е. [tex] f(y_{0})=x_{0}[/tex], където [tex] y_{0}=f(x_{0})\in R [/tex]
от а) следва, че [tex] f(x)>x => f(x_{0})>x_{0}[/tex] тогава:
[tex] f(y_{0})>y_{0}=f(x_{0})>x_{0}[/tex] противоречие

[cub]

задачата би била интересна, ако нямаме а) подусловие.. тогава ще е весело...

[soldier_vl]

То за това много от задачите имат а) за да насочат решаващите ги към начина за решаване на задачата!