нека...

[ганка симеонова]

а) нека а>0 и b>0. Да се докаже, че [tex] a+b\ge 2\sqrt{ab [/tex]
б) Да се докаже, че неравенството [tex] 2^{sinx}+2^{tgx}\ge 2^{x+1}[/tex]
е в сила, за всяко [tex] x\in (0; \frac{\pi }{2 }) [/tex]

[Реклама]

[ObsCure]

а) От

(a-b)²≥0 (равенство се достига само при при a=b),чрез следното преобразувание

a²-2ab+2ab-2ab+b²≥0

(a+b)²-4ab≥0

(a+b)²≥4ab

получаваме

[tex]\frac{a+b}{2}[/tex][tex]\ge[/tex][tex]\sqrt{ab}[/tex]

И ето че доказахме неравенството на Коши за 2 числа!

[ганка симеонова]

ок давай отговор б)

[Nona]

[tex]2^{\sin{x}}+2^{\tan{x}}\ge 2\sqrt{2^{\sin{x}+\tan{x}}}[/tex]

Да разгледаме функцията f(x)=sin x + tan x - 2x.

[tex]f'(x)=\cos{x}+\frac{1}{\cos^2{x}}-2=\frac{(\cos{x}-1)(\cos^2{x}-\cos{x}-1)}{\cos^2{x}[/tex]

При [tex]x\in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \ \cos{x}\in (0,1), \ f'(x)>0[/tex] и функцията е растяща.

[tex]\Rightarrow f(x)>f(0)=0 \Leftrightarrow sin x + tan x >2x[/tex]

[b1ck0]

ДСД:
[tex] a + \frac{1}{a} \ge 2 [/tex]

Не вярвам тава да е някакъв проблем за вас

[ганка симеонова]

това е вярно, само ако а>0
можеш и да ползваш неравенството м/у средното аритметично и средното геометрично:
[tex] \frac{a+\frac{1}{ a} }{2 }\ge \sqrt{a.\frac{1}{a } }=>a+\frac{1}{a }\ge 2 [/tex]
равенство се достига, само при а=1

[bobson]

cosx + 1 ≤ 2

имайки предвид, че tgx > x > 0 => tgx(cosx + 1) ≤ 2tgx

а откъде излезна следното
tgx(cosx + 1) ≥ 2tgx

според мен задачата се свежда до доказването на
sinx + tgx ≥ 2x ,ма нещо не мога да го получа

[Nona]

bobson, прав си. Благодаря за поправката

[b1ck0]

[tex] a + \frac{1}{a} \ge 2 [/tex]

От тук също може да се "види"

[tex] (a -1)^{2} = 0 \Rightarrow a=1[/tex]

[tex] a^{2} - 2a + 1 = 0 / :a \ne 0[/tex]

[tex] a - 2 + \frac{1}{a} = 0 [/tex]

[tex] a + \frac{1}{a} = 2 \Rightarrow a + \frac{1}{a} \ge 2 , a\in[1;\infty) [/tex]

[Methuselah]

Е ква е тая глупост [1; +∞) ?!
Доказва се за всички положителни

[soldier_vl]

При а=1/а се достига равенството или по общо казано при ф(х)=1/ф(х) при ф(х)>0

[Methuselah]

Още по-култово. Кога a=1/a? a=1

[b1ck0]

[Methuselah]

[bobson]

Не е ли вярно следното:

2^sinx + 2^tgx ≥ 2*2^tgx ≥ 2*2^x

понеже в избрания интервал - sinx ≥ tgx и tgx ≥ x

[r2d2]

kakvo: sinx >= tan x?

[bobson]

добре де, знаех си че нещо съм объркал... понеже cosx > 0

[garion]

[ObsCure]