Няколко задачи...

[van21]

за първа година изучавам Интеграли и ми е нужна малко помощ за Изпит.ето и някои от задачите.

неопредлени интеграли:

[tex]\int_{}^{ } \frac{dx}{(x+4)\sqrt{x^2+3x-4}[/tex]

[tex]\int_{}^{ } \frac{xe^{\arctan x}}{\sqrt[3]{(1+x^2)}}dx[/tex]

[tex]\int_{}^{ } \frac{x^4+1}{x^3-x^2+x-1}dx[/tex] -интегриране на рац.ф-и

[tex]\int_{}^{ } \frac{dx}{2 \sin x-\cos x+5 }[/tex] -интегриране на рац.ф-и на sinx и cosx

определени интеграли:

[tex]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{\sin x+\cos x+1}[/tex]

[tex]\int_{0}^{\frac{\pi}{4 } } \frac{\ln \cos x}{\cos^2x}dx[/tex]

[tex]\int_{0}^{1 } x^3\arctan x dx[/tex] -интегриране по части

[Реклама]

[maia]

1. Със субституцията x+4=1/t; dx=-1/t²dt получаваш степенен интеграл на 1-5х, които предполагам няма да те затрудни 2. Рационализираш знаменателя и го вкарваш под знака на дифренциала като arctgx, след това и е може да влезе, интегрираш по части, до получаване на изходния интеграл. 3. Представяш числителя като (х^4-1) + 2 и разделяш на два интеграла, разлагаш знаменателя на множители, първия интеграл след съкращение е елементарен, а втория решаваш с метода на неопределените коефиценти. 4. Прилагаш универсалната субституция.

[maia]

Определените интеграли решаваш първо като неопределени: 1. С универсалната субституция. 2. Вкарваш 1/cos²x под знака на диференциала като tgx и интегрираш по части 3. Под диференциала ще вкараш х^3 и ще интегрираш по части, получения интеграл е от интегриране на рац. функции. След това замести границите. Мисля, че малко помогнах, успех

[van21]

благодаря,сега ще пробвам и ще напиша коментар!

[van21]

може ли само да ми припомниш универсалната субституция,таърсих я из записките но нещо е пропуснато.

[ганка симеонова]

Полагаме [tex] \tan \frac{x}{2 }=t.[/tex]
Тогава
[tex]\sin x=\frac{2t}{1+t^{2} }\ , \ \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} \ , \ dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}.[/tex]

[van21]

напълно блокирах.може ли някои да ми каже на колко е равно

[tex]\int_{}^{ } d[ln(cosx)][/tex] =1/cosx ли е?

внасям ln(cosx) в dx,нали това е производната F' и аз трябва да намеря F.

а ето целия интеграл за да стане по ясно:
[tex]\int_{o}^{\frac{pi}{4 }} tgx.d{ln(cosx)}[/tex]

[van21]

и още нещо такмо съм се сетил:как да разделя

[tex]\int_{o}^{1}\frac{x^4}{x^2+1 }[/tex] -рационални функции,наистина се затрдуднявам.може да звучи смешно ама няма начин.дано някои се включи.
Благодаря!

[ганка симеонова]

ок, ще ти реша интеграла с лог, но само като неопределен. после ти ще си заместиш.
първо. когато една ф- я се изнася от диференциала, тя се изнася със своята производна. производната, на
[tex] ln(cosx)= \frac{1}{cosx }(-sinx) [/tex]
дифервнцираш все пак сложна ф-я. тогава интеграла добива вида:
[tex] -\int_{}^{ } tg^{2}xdx=-\int_{}^{ } \frac{sin^{2}x}{cos^{2}x }dx=[/tex]
[tex]-\int_{}^{ }\frac{ 1-cos^{2}x}{cos^{2}x}dx=-\int_{}^{ }(\frac{1}{cos^{2}x }-1)dx=\int_{}^{ } dx-\int_{}^{ } \frac{1}{cos^{2}x }dx=x-tgx [/tex]

[ганка симеонова]

относно как се делят полиноми, ами както се делят числа, но ще ми е трудно да го напиша..( писането на компа, не е като да хвенеш листа и химикала)..
в твоя случай просто в числител прибави и извади 1. тогава:
[tex] \int_{}^{ } \frac{(x^{4}-1)+1}{x^{2}+1 }dx[/tex]
делиш почленно и получаваш следните интеграли:
[tex]\int_{}^{ } (x^{2}-1)dx +\int_{}^{ } \frac{1}{x^{2}+1 }dx=\frac{x^{3}}{ 3}-x+arctgx [/tex]

[van21]

ааа разбрах сега,аз съм направил почти същото,но не съм съобразил производната.мн благодаряяяя.
а за това делене

[tex]\int_{}^{ } \frac{x^4+1}{x^3-x^2 +x-1}dx[/tex]

пак ли по същия начин става,числителя как го представям.извинявам се ако задавам мн въпроси ама иначе няма как да разбера а иде изпитттт

[ганка симеонова]

не е по същия начин. казах ти, както се делят числа. разделяш старшата степен на полинома- делимо на старшата степен на полинома- делител. получаваш х. после това х умножаваш по полинома делител и полученото го записваш в опашка под полинома-делимо. изваждаш и пак повтаряш процедурата и така, докато получената разлика в опашката стане полином от степен по- малка от степента на делителя. това е остатъка...

[van21]

ясно,ще пробвам и ще видя.

[ганка симеонова]

и още нещо:
[tex] \frac{A(x)}{B(x) }=Q(x)+\frac{R(x)}{B(x) }[/tex],
където А(х)- делимо; В(х)- делител Q (х)- частно; R (х)- остатък

[maia]

Този специално може да се реши и с разлагане, ( х^4-1)+1 = (х+1)(х-1)(х²+1) +1 в числителя и (х-1)(х²+1) в знаменателя; сега можеш да разделиш на два интеграла, където първият след съкращение е елементарен, а втория решаваш с метода на неопределените коефиценти. В общия случай разбира се делят

[van21]

искам да попитам как мога да рационализирам знаменателя на този интеграл:

[tex]\int_{}^{ }\frac{xe^{\arctan x}}{\sqrt[3]{(1+x^2)}}dx[/tex]

освен да премахна,че е корен 3-ти.какво друго мога да направя.искам да го рационализирам за да внеса в dx- [tex]\frac{1}{1+x^2}[/tex] като arctanx нали така.ако може някой да ми проясни Благодаря!

[van21]

[van21]

никой ли не иска да ми обясни?

[ганка симеонова]

ок, аз ще се опитам, въпреки че, хич ме няма по интегралите
нека означим интеграла с I. има интеграли, при които човек решавайки ги, пак достига в един момент до първоначалния интеграл. получава се нещо като уравнение от вида:
[tex] I= A +kI[/tex]
А е вече интегрирана функция. тогава интегралът се намира като корен на това уравнение. (к- някаква константа или функция)
[tex] I-kI=A =>(1-k)I=A => I=\frac{A}{1-k } [/tex]
мисля си, че твоят интеграл е от този вид. няма да го решавам целия, само до някъде.
значи рационализираме, като умножаваме числителя и знаменателя по квадрата на знаменателя. така в знаменател избягваме корен трети. после внасяме под знака на диференциала и получаваме:
[tex]I=\int_{}^{ } x\sqrt[3]{(1+x^{2})^{2}}e^{arctgx}darctgx=\int{ x\sqrt[3]{(1+x^{2})^{2}}d e^{arctgx} [/tex]
интегрираме по части. получаваме :
[tex] I= x\sqrt[3]{(1+x^{2})^{2}} e^{arctgx}-\int_{}^{ } e^{arctgx}dx\sqrt[3]{{(1+x^{2})^{2} [/tex]
означаваме първото събираемо на дясната страна с А, а втория интеграл с J. за момента сме получили равенството:
[tex] I=A-J [/tex] означавам това равенство с (1) и се заемам с втория интеграл. смятам производната на функциата под знака на диференциала, за да я изнеса пред него. получавам:
[tex] J=\int_{}^{ } \frac{3x+1}{3\sqrt[3]{1+x} }e^{arctgx}dx [/tex]
деля числителя почленно на знаменателя и така получавам два интеграла:
[tex] J=\int_{}^{ } \frac{x}{\sqrt[3]{(1+x)} }e^{arctgx}dx+\frac{1}{3 } \int_{}^{ }\frac{1}{\sqrt[3]{(1+x)} }e^{arctgx}dx [/tex]
забелязваме, че първият интеграл е I, а вторият означаваме с Y. връщаме се в (1) и получаваме за момента:
[tex] 2I=A-Y[/tex]
Y решаваш по същия начин.....