екстремална задача

[Infernum]

От вскички вписани правоъгълни паралелепипеди в триосен елипсоид, намерете страните на онзи, който има максимален обем.

[Реклама]

[Futurolog]

Идеята е сходна, със идеята в репението на задачата от другия твой пост за елипсоида и равнината.
Първо трябва да забележим, че паралелепипедите може да се впишат само когато ръбовете им са успоредни на осите на елипсоида. Това твърдение следва от особените симетрии (различни огледални симетрии) на паралелепипеда, която индуцира симетрии върху даден брой точки от елипсоида и понеже симетриите са линейни преобразувания, а елипсоида е повърхнина от втора степен, тези симетрии ще са симетрии и за елипсоида, което ще докаже и твърдението. След това деформираме пространството с помощта на подходящ линеен оператор, разтягащ точно по осите на елипсоида и имащ детерминанта 1 (това не е задължително), за да получим сфера. Но такъв оператор, ще преобразува паралелепипедите в паралелепипеди поради особеното им разположение като вписани фигури в елипсоида. Така стигаме до задача за намиране на вписан паралелепипед в сфера, чието решение е кубът (в случая разположен със страни, успоредни на осите на деформация). Обратното изображение на този куб ще ни даде търсения елипсоид и неговите страни.

Дано да става ясно от обясненията...

[Infernum]

Мого ще се радвам, ако все пак видя аналитичната реализация на тези теоретични постановки.

[Infernum]

Упътване:
Да се изрази обема на паралелепипеда в обобщени сферични координати. Задачата се свежда до намирането на екстремум на функция на три променливи. За намерените стойности, които обръщат обема в неговия максимум, чрез връзката с декартовите координати, се определят страните на търсения паралелепипед.

Задачата е хубава и не е трудна. Жалко че никой не се е опитал да я реши.

[Футуролог]

Как никой да не се е опитал да я реши ве? Я виж по-горе! Там стои обяснение как да се реши и при това без да се търсят екстремуми на функции и да се смятат производни до припадък. С тоя метод не само се намира оптималния обем, но и точното разположение на паралелепипеда (координатите на върховете му). Пък и в някакъв смисъл обощените сферични координати са аналог на геометричните преобразувания за които говоря в моето решение.

[Infernum]