Задача - правоъгълен триъгълник

[Charg3r]

Следната задачка е от конкурсен изпит давана през 2001г...

В правоъгълен триъгълник АВС е построена височина h към хипотенузата AB. Ако r,p и q са радиусите на окръжностите вписани съответно в триъгълниците АВС, BCD и ACD, да се докаже, че: r+p+q=h

[Реклама]

[r2d2]

Никого не искам да засегна, но ако наистина е давана е било в "университета" на Горно Нанадолнище!

[ObsCure]

Нека дължините на катетите и хипотенузата са a,b и c.Лесно се доказва,че

▲ABC~▲ADC~▲BCD

Следователно

[tex]\frac{c}{r}[/tex]=[tex]\frac{a}{q}[/tex]=[tex]\frac{b}{p}[/tex]=k

където k е коефициент на подобие.И така,изразяваме лицето на ▲ABC по следният начин

[tex]\frac{a+b+c}{2}r[/tex]=[tex]\frac{ch}{2}[/tex] => (kr+kq+kp)r=krh

kr(r+q+p)=krh /:kr => h=r+p+q

P.S. И аз смятам,че е too easy за конкурсна!

[Charg3r]

Мерси
Имам тука едно ръководство и в него има изпитни теми от предишните години.
Тая е от Бургаски свободен университет - 2001 конкурсна тема...случайно попаднах на нея