Задача за Конус и цилиндър 12 клас

[Dream_Works]

Изпитвам леко затруднение със следната задача
Прав кръгов конус и прав кръгов цилиндър имат обща основа. Върхът на конуса съвпада с центъра на горната основа на цилиндъра. Лицето на пълната повърхнина на цилиндъра е [tex]\frac{3}{2 } [/tex] от лицето на пълната повърхнина на конуса. Да се намери косинусът на ъгъла между височината на конуса и неговата образувателна.
Като цяло задачата не изглежда трудна. След прости замествания и означаване на търсения ъгъл с [tex]\alpha [/tex] достигам до тригонометричното уравнение [tex] sin\alpha+4cos\alpha =3 [/tex] Но от тук нататък явно съм забравил нещата, пробвах с универсалната субституция, но не се получава отговорът (може и там да греша нещо) Затова моля да ми помогнете.

[Реклама]

[Tony_89]

Проверих, получил си вярно уравнението за α.

[tex]\alpha \in (0 ; 90^\circ) => cos\alpha \in (0;1)[/tex]

Полагаме [tex]cos\alpha = u \in (0;1)[/tex]

[tex]\sqrt{1 - u^{2}} = 3 - 4u =>[/tex]

[tex]=> u \in (0;\frac{3}{4}][/tex]

Повдигаме на квадрат.

[tex]1 - u^{2} = 9 - 24u + 16u^{2}[/tex]

[tex]17u^{2} - 24u + 8 = 0[/tex]

[tex]u_{1,2} = \frac{24 \pm 4\sqrt{2}}{34} = \frac{12 \pm 2\sqrt{2}}{17}[/tex]

[tex]\frac{12 + 2\sqrt{2}}{17}[/tex] не е решение, защото е по-голямо от 3/4 =>

[tex]cos\alpha = \frac{12 - 2\sqrt{2}}{17}[/tex]

[Dream_Works]

Е много ти благодаря Иначе съм супер залюхан де... да не се сети човек 2 часа, че [tex] sin^{2}x+cos^{2}x=1.[/tex] Така е остаряваме вече

[Tony_89]

[soldier_vl]

Ето ти мойта идея и мисля че се получава. Изразяваш си 2те формули за лице на пълна повърхнина на конус и на цилиндър. Използваш че едното лице е равно на 3/2 от другото и имаш уравнение в което участват височината, образуващата и радиуса, но между тях имаш зависимуст(Питагорова теорема) => поличаваш квадратно уравнение с 2неизвестни, но то е хомогенно(не съм сигурен дали точно така се казваха) т.е. аз като го решавах разделих на г² и намерих отношението образувателна към радиус, което е 1/sinα, но съм сигурен че още като използваш Питагоровата теорема можеш да докараш уравнението до вид в който участват само височината и образувателната и от там да намериш зависимуста между тях, която ти се иска в условието т.е. cosα=h/l, където h е височината, а l е образувателната.
Но мисля че идеята ти с полагане и стигане до това уравнение не е най-удачната. Пробвай го това мисля че трябва да се получи без проблем

[Tony_89]

[soldier_vl]

Идеята ми беше преди да разделиш на l да заместиш h=[tex]\sqrt{l^2-r^2} [/tex] повдигаме на квадрат и чак тогава делим на г² и аз намирам следната зависимост: [tex]\frac{l}{r}=\frac{3+\sqrt{128} }{7} [/tex](не съм сигурен много за сметките, не съм правил проверка), което всъщност е [tex]\frac{1}{sin\alpha }[/tex] намираме синуса и от косинуса лесно се намира.