Задача от метрични зависимости

[complex]

Даден е трапец с диагонали 3см и 5см. Намерете лицето на трапеце, ако дължината на отсечката, съединяваща средите на основите, е 2см.

[Реклама]

[ганка симеонова]

има едно основно построение при трапец. продължи правата АВ и през т. С построй отсечка равна и успоредна на DB. нека това е СР ( Р лежи на правата АВ). тогава триъгълник АСР е равнолицев на трапеца, с дължини на страните АС и СР, съответно равни на диагоналите, а третата АР е равна на сбора на двете основи, т.е. удвоената средна отсечка. тогава намираш лицето по херон

[ганка симеонова]

ха, но този триъгълник е с дължини на страните 3; 4; 5-т.е. е правоъгълен и тогава лицето му е 6.

[garion]

но отсечката която съединява средите на основите е 2, а не средите на бедрата.
Пак правим същите построения, и тогава имаме за триъгълника APC, че медианата към AP е 2(но трябва да се докаже). тогава от формулата за медианата имаме че
[tex]4m_{AP}^{2} = 2CA^{2} + 2CP^{2} - AP^{2}[/tex]
където: [tex]m_{AP}[/tex] = 2, CA = 5 и CP = 3(последните 2 може и да са обърнати, за решаването на задачата е важно, защото се получава същия отговор).
от тук като се намери АР, може да се намери лицето на ттиъгълника, а съответно и на трапеца.[/tex][/tex]

[ганка симеонова]

олеле, май ми трябват наистина очила)))

[ганка симеонова]

ами тогава тя се явява медиана във въпросния триъгълник и по медиана и две страни откриваме третата

[garion]

ами нали май и аз това съм написал

[ганка симеонова]

да, видяхне съм преписвала

[complex]

Сигурно аз греша някъде в сметките но:
[tex]4m_{AP}^2=2AC^2 + 2CP^2 - AP^2[/tex]
CA=5, CP=3 и медианата към страната m_AP=2 тогава:
[tex]16=18+50 - AP^2 \Leftrightarrow AP^2=52 \Leftrightarrow AP=2\sqrt{13} [/tex] , а не 4 a пък и как хипотенузата ще е по-малко от някой от катетите? A отговорът в учебника е същият, който и вие получавате S=6sm².

[ганка симеонова]

сметката ти е вярна, но продължи по нататък. лицето можеш, да го сметнеш и по херон, но третата страна е ирационална и не, че е проблем, но аз първо сметнах косинус на ъгъл АСР=-3/5. тогава синусът е 4/5 и лицето е 1/2.5.3.4/5=6

[r2d2]

Вярно, че допълнителните построения са 3, но нищо не се смята!

[complex]

r2d2 отново показа класата си Имам проблем и със следната задача:
В трапец ABCD (AB||CD) е вписана окръжност, която се допира до бедрото AD в тояка Р. Намерете лицето на трапеца, ако AP=18cm, PD=2cm и AB=30cm.

Аз стигнах до тук. Идеи за намирането на TC и CF имате ли?

[ObsCure]

Хм...на чертежа AP=18,а в условието е 8.Кое е по-достоверно?

[cub]

Използвай, че за да бъде описан четириъгълник около окръжност трябва
AB+CD=BC+AD

[complex]

Извинявам се оправих го AP=18см . Използвах го ама се получава 0=0. Подобна задача съм виждал преди 1-2г. ама не се сещам как се решаваше.

[ObsCure]

Всъщност ето едно решение:

Построяваш отсечката TQ.Тя се явява височина в трапеца и го разделя на 2 правоъгълни такива.След това успоредно на TQ построяваш DM и

DM=TQ

От Питагоровата за триъг.ADM ще намериш

DM=12см

Постъпваш аналогично и с правоъгълния трапец TQBC.Там спускаш CN и от Питагор за триъг.CNB се получава

x=3

S=210 см²

[complex]

С ето тази задача, също не мога да се справя:
Даден е трапец с основи а и b (а>b) и ъгъл между бедрата α. Намерете лицето на трапеца, ако диагоналите му са взаимно перпендикулярни.

Щом диагоналите му са перпендикулярни следователно:
[tex]AB^2 + CD^2 = BC^2 + AC^2 \Leftrightarrow a^2 + b^2 = BC^2 + AC^2[/tex]
Предполагам, че е от недоглеждане, вярното е:

[tex]AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2 \Leftrightarrow a^2 + b^2 = BC^2 + AD^2[/tex] (r2d2)

На чертежа съм построил права CM успоредна и равна на DA, следователно ▲DVC подобен ▲MCB . Нататък не се сещам как да продължа.

[nikolavp]

Ето ти едно решение, което сега ми дойде на ум(странно защо никой не я решил до сега тая задачка)
Нека AD=c;BC=d
[tex]\triangle MBC: Tcos => (a-b)^2=\underbrac{c^2+d^2}_{a^2+b^2}-2cdcos\alpha \\ \cancel{a^2}-2ab+\cancel{b^2}=\cancel{a^2}+\cancel{b^2}-2c.d.cos\alpha.\frac{sin\alpha.2}{\sin\alpha.2}[/tex]
но [tex]\frac{c.d.sin\alpha}{2}=S_{MBC}[/tex]
=> Горното става
[tex]ab=2S_{MBC}.cotg\alpha \\ S_{MBC}=\frac{ab}{2cotg\alpha}[/tex]
Пускаме височината в триъгълник MBC [tex]CH(H \in MB)[/tex]
=> [tex]\frac{(a-b)CH}{2}=S_{MBC}\\ CH=\frac{2S_{MBC}}{a-b}=\frac{\cancel{2}.\frac{ab}{\cancel{2}cotg\alpha}}{a-b}=\frac{ab}{(a-b)cotg\alpha}[/tex]
CH е и височина в трапеца => Окончателно [tex]S_{ABCD}=\frac{(a+b)}{2}.\frac{ab}{(a-b)cotg\alpha}=\frac{ab(a+b)}{2(a-b)cotg\alpha}[/tex]

[martosss]

Така, като гледам ти е известно, че [tex]a^2+b^2=c^2+d^2[/tex], освен това от пренесената страна получаваш от кос. теорема [tex]c^2+d^2-2cdcos\alp=(a-b)^2\Right cd=\frac{ab{cos\alp}[/tex]
Сега изразяваш лицето на АВСД и на СVD чрез с, д и алфа и като ги извадиш си готов

Имаш [tex]\frac{AV}{DV}=\frac{c+x}{x}=\frac{a}{b}\Right x=DV=\frac{bc}{a-b}[/tex]
Освен това [tex]AV=c+x=\frac{ac}{a-b}[/tex]
аналогично изразяваш CV и лицата стават [tex]S_{ABCD}=S_{ABV}-S_{CDV}=\frac{AV*BV*sin\alp}{2}-\frac{DV*CV*sin\alp}{2}=sin\alp*\frac{\frac{ac}{a-b}*\frac{ad}{a-b}-\frac{bc}{a-b}*\frac{db}{a-b}}{2}=\frac{sin\alp cd}{2(a-b)^2}*(a^2-b^2)=\frac{ab(a+b)tg\alp }{2(a-b)}[/tex]

nikola, мисля че този котг е по-добре да е отгоре като тг

[nikolavp]

Въпрос на предпочитание, предполагам .