Лице на част от окръжност

[Dukov]

Става дума за намиране на част от лице на окръжност:
Имам окръжност с радиус R , пресечен от права (А,B - са пресечните точки на правата с окръжноста ) Знам и Н (височината спусната от дъгата на окръжноста заключена между А и B , към хордата АB)
Трябва ми формила за лицето на сигмента отсечен от хорадата АB , изразено чрез R и H.
Решение чрез интеграл ще ми е най-полезно но и чрез проста математика може
Благодаря предварително.

[Реклама]

[ганка симеонова]

хайде с проста математика нека
[tex]\angle AOB=\alpha [/tex] О-център на окръжността. тогава прилагайки малко тригонометрия се получава:
[tex] sin\alpha =\frac{2(R-h)\sqrt{2Rh-h^{2}} }{R^{2} } [/tex]
от там с помощта на аркуссинус можеш да откриеш ъгъл [tex]\alpha [/tex] в градуси.
тогава лицето на сегмента е равно на лицето на сектора минус лицето на триъгълника.
лицето на сектора е:
[tex]S_{1}=\frac{\pi R^{2}\alpha }{360^\circ } [/tex]
лицето на триъгълника е:
[tex]S_{2}=\frac{R^{2}sin\alpha }{2 } [/tex]

[Dukov]

значи имам S = [tex]\frac{1}{ 2} [/tex][tex]R^2[/tex]([tex]\frac{\pi \alpha }{180 } [/tex]-sin[tex]\alpha [/tex] )

а от тригонометричните преобразования които ти ми даде за sin[tex]\alpha [/tex] се получава :

[tex]S[/tex] [tex]=[/tex] [tex]\frac{\pi R^2\alpha }{360^\circ }[/tex] [tex]-[/tex] [tex](R-h) [/tex][tex]\sqrt{2Rh-h^2} [/tex]

поправете ме ако греша (не съм се занимавал с проста математика от 15-тина години, не че с висша съм )

извинявам се за неугледния вид на формулите но още не съм свикнал със сигнатурите в сайта

[ганка симеонова]

точно така

[Dukov]

А някой може ли да ми каже , дали този интеграл е рещение на задачата:

[tex]\int_{}^{ } [/tex] [tex]([/tex] [tex]\sqrt{(R^2 - h^2)} [/tex] [tex]-[/tex] [tex]([/tex] [tex]R[/tex][tex] - [/tex][tex]h[/tex][tex])[/tex][tex])[/tex] [tex]d h[/tex] [tex]-[/tex][tex]\sqrt{R^2 - (R-h)^2}[/tex] [tex]=[/tex] [tex]S[/tex] на сигмента

[ганка симеонова]

къде последно стои знакът на диференциала. защото, както си го написал имаш разлика на интеграл и функция

[Dukov]

Ами така е според моите преобразувания и 2 дневните ми опити да си спомня нещо за интегралите (dh e след 2-рите скоби )
Но иначе решението което ти ми даде е много прегледно и приложимо
Само че аз имам проблем и с arcussin До колкото си спомням беше свързано с имагинерното число

ПП : цялата задача е за обем на цилиндър(цистерна) затова интегрално решение за лицето на сигмента ще ми е по подходящо когато стигна до плътноста, температурата и тн на течноста в цистерната

[r2d2]

Eто отговор и малко обяснения. И един съвет, ориентирай се към приближени формули. Интегралите, които се получават са тегави, а и предполагам, че не ти трябва абсолютна точност.
ъ=0 на картинката е у=0!

[ганка симеонова]

а аз ще ти дам решение само на интеграла, но после трябва да пресметнеш разликата на получената функция в горна и долна граница и да умножиш по 2,
[tex]\int_{}^{ } \sqrt{R^{2}-x^{2}} dx=\frac{x}{2 }. \sqrt{R^{2}-x^{2}} +\frac{R^{2}}{2 }arcsin\frac{x}{R } [/tex]

[Dukov]

Благодаря на всички които помогнаха , имате едно черпене от мен

П.П. Очаквате нова задача от раздела "Механика на непрекъснатите среди " по точно за интеграл по променлив обем , ако не мога да се справя сам

[ганка симеонова]

бъди жив и здрав ако, сме ти помогнали, всичко е ок...

[Infernum]

За цистерни тук http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=538
и тук http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=3884

[Dukov]

Браво , много благодаря

[voknid]

Имам подозрение че всъщност искаш да смяташ обем на легнал цилиндър, напълнен донякъде с течност. Ако имаш програма Excel, моята формула може да ти облекчи мъките. Описана е във "Форум", раздел "Геометрия", група "Лица / Обеми", тема "Задача за обеми" - щракни тук
А кой ще черпи?