Трудни задачи

[martinmaestro]

1. Да се докаже, че не съществуват естествени числа m и n, за които 3^m - 3ⁿ = 2001

2. Намерете всички прости числа p, за които p² + 11 има точно 6 делителя (включително единицата и самото число)

3. По окръжност са написани n (n≥3) различни числа. Всяко от тези числа е равно на произведението на съседните си числа. Да се намери числото n.

4.Да се докаже, че числото 2¹⁰ + 5¹² не е просто

[Реклама]

[Pinetop Smith]

3ⁿ(3^m-n - 1) = 3.667

=> n = 1 и

3^m-n = 668, противоречие.

[r2d2]

1. 3^n e нечетно, както и 3^м, а разликата на две нечетни е ...

4. Тази ме зарадва: [tex]2^{10}+5^{12}=(2^5)^2+(5^6)^2 [/tex]сега долълваме до точен квадрат

[tex](2^5)^2+(5^6)^2=(2^5+5^6)^2 - 2.2^5.5^6=(2^5+5^6)^2 -(2^3.5^3)^2[/tex] и се надявам, че разбра какво става!

[Pinetop Smith]

Толкова идиотско решение не бях писал отдавна, пак целя врабци с топ

[r2d2]

Зад. 3
Ако р=2, 15 има делители 1,3,5,15 - само 4.
За всяко просто р>2 числото се дели на 1,2,(съответното на 2) и на себе си -на поне 4 числа.
Ако р=3 20 се дели на 1,2,4,5,10,20 - върши ни работа!

Нека р>3. Понеже е просто p=3k+1 или p=3k-1. Тогава[tex] (3k \pm 1)^2+11=9k^2 \pm 6k +12[/tex] се дели на 3.
Разбрахме, че при р>3 числото p^2+11 има за делители 1,2,3,съответното на 2, съответното на 3 и себе си. Значи други делители то не трябва да има!

Но простите числа > 3 са от вида[tex] p=6n \pm 1.[/tex]
[tex](6n \pm 1)^2+11=36n^2 \pm 12n +12[/tex] и се делят на 4!
Значи други такива числа няма!

[r2d2]

Eто и последната. Да си мислим окр. като циферблат на часовник. В 12-часа слагаме числото а, а в 2 часа - b. Последователно поставяме липсващите числа:
Ето картинка:
Вижда се, числото в 6 часа е колкото това в 3. Значи числата са най-много 5.
Сам се пребори със случаите 3, 4 (мисля, че не стават) и 5.

[r2d2]

Maлък коментар: 1. Става за тест и в по-долен клас, 3. може и да става за 7-ми, останалите просто не са за 7-ми клас тест, а за олимпиада.