Какви условия трябва да поставим за да бъде сходяща редицата

[martincho33]

[tex]\frac{e^{\alpha n}}{ z^n} [/tex] тази редица от тук не може да се заключи дали е сходяща или не, доколкото разбирам.. ако е така искам да ви питам какви условия трябва да бъдат поставени за да бъде сходяща ... казаха ми
[tex]|z|>e^{Re {\alpha}}[/tex]
където [tex]Re {\alpha}[/tex] е реалната част на числото [tex]\alpha[/tex] (ако то е комплексно)

[Реклама]

[martincho33]

и още една с която имам трудност
a₀+a₀n+a₂n²
има ли граница ? ако няма какви условия трябва да поставим за да е сходяща ?

п.с. не съм сигурен темата дали е за секцията граници или за секцията прогресии - съжалявам за което

[Infernum]

[Infernum]

[martincho33]

[Infernum]

Значи, като представиш α в алгебричен, а z в експоненциален, ще имаш:

[tex]\alpha = a+i b[/tex]
[tex]z=r e^{i \varphi }[/tex]

Тогава

[tex]\frac{e^{\alpha n}}{z^n}=\frac{e^{na} e^{i nb}}{r^n e^{in\varphi }}=\left(\frac{e^a}{r}\right)^n e^{i n(b-\varphi)}[/tex]

Като оцениш модула на общия член на редицата, ще имаш

[tex]0<\left|\frac{e^{\alpha n}}{z^n}\right|= \left|\left(\frac{e^a}{r}\right)^n e^{i n(b-\varphi)} \right|\le \left(\frac{e^a}{r}\right)^n[/tex]

откъдето следва, че редицата [tex]\frac{e^{\alpha n}}{z^n}[/tex] ще бъде сходяща когато бъде сходяща редицата [tex]\left(\frac{e^a}{r}\right)^n.[/tex]

За втората задача, на този етап не мога да ти помогна, тъй като не разбирам условието. Постарай се да го опишеш по-разбираемо.

[martincho33]

Условието на втората е : Да се определи Z-образът (образа на Лаплас за дискретна функция) на функцията :
[tex]f(t)=a0+a1t+a2t^2[/tex]. Дефинирана за t>=0
Периода на дискретизация е T0=0,1s
Стойностите на коефициентите са [tex]a0=1;a1=2s^{-1};a2=4s^{-1};[/tex]
Както казах стойностите не ти трябват.Условието на първата задача беше същото .. да се определи Z-образът който се определя по формулата:
[tex]Z(f(t))=Z(f[n])=Z(f[nT0])=F(z)[/tex]
[tex]F(z)=\sum_{n=0}^{\infty}f[n]z^{-n}[/tex] (за първата задача в която не се взима предвид периода на дискретизация , защото той е равен на 1)
[tex]F(z)=\sum_{n=0}^{\infty}f[nT0]z^{-n}[/tex] - това се използва за втората задача, но дори и периода на дискретизация може да се замести най-накрая... въпроса е , че трябва да намерим на какво е равна тази сума , не ни върши работи ако не е сходяща

[martincho33]

Ако не те кефи това условие използвай условието :
Да се намери областта на сходимост на функцията

[Infernum]

За удобство се разглежда реда

[tex]\sum_{n=0}^{\infty }\frac{a_0+a_1n+a_2n^2}{z^n}.[/tex]

Полага се u = 1/z, при което редът добива вида

[tex]\sum_{n=0}^{\infty }(a_0+a_1n+a_2n^2)u^n.[/tex]

В сечението на областите на сходимост на редовете [tex]\sum_{n=0}^{\infty }u^n \ , \ \sum_{n=0}^{\infty }nu^n \ , \ \sum_{n=0}^{\infty }n^2u^n[/tex], имаш

[tex]\sum_{n=0}^{\infty }(a_0+a_1n+a_2n^2)u^n=a_0\sum_{n=0}^{\infty }u^n+a_1\sum_{n=0}^{\infty }nu^n+a_2\sum_{n=0}^{\infty }n^2u^n.[/tex]

Разглеждат се редовете [tex]\sum_{n=0}^{\infty }r^n \ , \ \sum_{n=0}^{\infty }nr^n \ , \ \sum_{n=0}^{\infty }n^2r^n[/tex], където |u| = r > 0.

Първият ред е равномерно сходящ за 0 < r < 1 и сумата му е [tex]\frac{1}{1-r}[/tex]. В този интервал той може да се диференцира и интегрира почленно, откъдето

[tex]\sum_{n=0}^{\infty}nr^n=r\sum_{n=0}^{\infty}nr^{n-1}=r\frac{d}{dr}\left(\sum_{n=0}^{\infty}r^n \right)=r\frac{d}{dr}\left( \frac{1}{1-r} \right)=\frac{r}{(1-r)^2} \ , \ 0<r<1.[/tex]

Тъй като и втория ред е равномерно сходящ за 0 < r < 1, за третия ред имаш

[tex]\sum_{n=0}^{\infty }n^2r^n=r\sum_{n=0}^{\infty }n.nr^{n-1}=r\frac{d}{dr}\sum_{n=0}^{\infty }nr^n=r\frac{d}{dr}\left( \frac{r}{(1-r)^2}\right)=\frac{r+r^2}{(1-r)^3}[/tex]

И така, като си спомниш, че r = |u|, установяваш, че редовете [tex]\sum_{n=0}^{\infty }u^n \ , \ \sum_{n=0}^{\infty }nu^n \ , \ \sum_{n=0}^{\infty }n^2u^n[/tex] са абсолютно и равномерно сходящи сходящи в кръга |u| < 1. Това означава, че те могат да се диференцират и интегрират почленно в този кръг и с аналогични преобразувания да се получат равенствата

[tex]\sum_{n=0}^{\infty }u^n=\frac{1}{1-u} \ , \ \sum_{n=0}^{\infty }nu^n=\frac{u}{(1-u)^2} \ , \ \sum_{n=0}^{\infty }n^2u^n=\frac{u+u^2}{(1-u)^3}[/tex]

Тогава

[tex]\sum_{n=0}^{\infty }(a_0+a_1n+a_2n^2)u^n=a_0\frac{1}{1-u}+a_1\frac{u}{(1-u)^2}+a_2\frac{u+u^2}{(1-u)^3} \ , \ |u|<1.[/tex]

Понеже u=1/z, за изходния ред се получава

[tex]\sum_{n=0}^{\infty }\frac{a_0+a_1n+a_2n^2}{z^n}=a_0\frac{z}{z-1}+a_1\frac{z}{(z-1)^2}+a_2\frac{z(z+1)}{(z-1)^3} \ , \ |z|>1.[/tex]

[martincho33]

Евала , преподавателя ми каза че това е от средното образование , че даже ако не каза че е и от 8ми клас .Аз не помня да съм правил такива неща в 8ми клас макар да съм от СМГ , ти съгласен ли си ?

[martincho33]

err