Две задачи за прав. 4ъг. пирамида

[hborisoff]

Зад1: Дадена е правилна 4ъг. пирамида като двустенния ъгъл при основен ръб е алфа, а при околен ръб бета. Да се док, че [tex]cos \beta = -cos^2 \alpha[/tex].

Зад2: В прав. 4ъг. пирамида с дължина на околния ръб b, ъгълът между две съседни околни стени е два пъти по-голям от този между околен ръб и основата на пирамидата. Да се док, че лицето на околната повърхнина е [tex]b^{2}\sqrt {2sqrt 5 - 2}[/tex].

Мислих и по двете задачи, както и по още няколко от този тип, но нещо не ми се отдават. На урока даскала обясняваше, че се използват правоъгълни тръгълници, където се съдържа някой общ елемент, но все не мога да го докарам. Може ли някой да ми обясни подхода, с който започва в такава ситуация. Също и начинът по който да започна да решавам горните две задачи.

Благодаря предварително!

[Реклама]

[Metodiy]

задача1. Ще ти напиша стъпките, заото не мога да се оправя много добре с означенията за ъгли, корени и т.н. Така. Стандартните означения- основата квадрат ABCD, а върха F. Нека O е пресечната точка на диагоналите на квадрата, L е средата на АВ, а P e петата на перпендикуляра спуснат от А към BF. От това, че пирамидата е правилна следва, че Р е и петата на перпендикуляра от С към BF. По този начин получихме търсените ъгли. За удобство АВ=а, BF=b. От косинусовата теорема намираме cos ABF. Намираме синуса на този ъгъла и от там пък дължината на АР. Както вече казахме АР=СР. Сега използваме косинусовата теорема за ъгъл АРЦ и намираме cos \beta. Сега ще намерим cos \alpha. Намираме първо FL (Питагоровата теорема). cos \alpha = cos \OLF излиза много лесно. Повдигаш на квадрат и получаваш равенството

[M_Velinova]

Ето решение на първата задача и динамичен модел на пирамидата:
Правилна четириъгълна пирамида