Показателни уравнения с модул

[complex]

Имам няколко въпроса свързани с тях:
Ето тази задача решавам по следния начин:
[tex]5^{|4x-6|}=25^{3x-4} \Leftrightarrow 5^{|4x-6|}=5^{6x-8} \Leftrightarrow |4x-6|=6x-8[/tex] След това намирам критичната точка [tex]x=\frac{3}{2}[/tex]
Когато [tex]x\in (-\infty ;\frac{3}{2})[/tex] тогава:
[tex]-4x+6=6x-8 \Leftrightarrow 10x=14 \Leftrightarrow x=\frac{7}{5} [/tex]
Когато [tex]x\in (\frac{3}{2}; +\infty )[/tex] тогава:
[tex]x=1[/tex]
Но в решенията на сборника има само [tex]x=\frac{7}{5} [/tex] Защо х=1 не е решение?

[Реклама]

[ганка симеонова]

това уравнение е като ирационалните.. разсъждавай!!!!!!!!( можеш)!!!!!!!!!! дясната страна трябва да е неотрицателна, т.е. х>=4/3. а при корен 1, тя става отрицателна

[ганка симеонова]

[tex] /f(x)/=g(x) [/tex] д.с. [tex] g(x)\ge 0 [/tex]

[complex]

Да вярно съвсем не бях съобразил, доста глупава грешка.

[ганка симеонова]

винаги преценявай ситуацията. каква е фукцията, какви са особеностите и, налагат ли се ограничения, за действията( Д.С,)...винаги гледай една задача, ккато котката гледа мишката

[complex]

Тази задачка не е много по темата но ще я напиша тук, за да не правя излишни теми.
[tex](x-1)^{x^2-5x+4}=1[/tex]
[tex]DOx: x\ne 1[/tex]
[tex]x-1=1 \Leftrightarrow x_1=2[/tex]
[tex](x-1)^{x^2-5x+4}=1[/tex]
[tex] \Leftrightarrow (x-1)^{x^2-5x+4}=(x-1)^0[/tex]
[tex]x^2-5x+4=0 \Leftrightarrow x_1=4; x_2=1[/tex] x₂ не е решение на задачата. Но в отговорите в сборника има още един отговор х₃=0. Това решение от къде идва?

[soldier_vl]

-1 на четна степен е 1
Като заместиш с 0 се получава [tex](-1)^4[/tex] което е равно на 1

[complex]

Да аз знам, че като заместим с 0 се получава 1=1. Мислих си, че съм изпуснал някое равенсто или сметка. Значи трябва да проверявам дали и други числа са решение?

[ганка симеонова]

ще се опитам да дам схема за решаването на уравнението:
[tex] f(x)^{g(x)}=1 [/tex]

1сл [tex] g(x)=0[/tex]решения са тези числа, които след проверка не приравняват f(x) на 0 [tex] ( 0^{0})[/tex] е неопределеност
2сл. [tex] f(x)=1 [/tex]
3сл. [tex] f(x)=-1 [/tex] решения са тези числа, които след проверка приравняват лявата страна на 1

[garion]

Ами тогава за задачата
[tex]x^{\frac{x+3}{2}}=0[/tex]
Какво става когато x = -1 ?

P.S. Най-сетне го написах като хората

[ганка симеонова]

аз дадох алгоритъм, когато дясната страна е 1)))))

[ганка симеонова]

а при теб дясната страна е 0

[garion]

[ганка симеонова]

тогава очевидно х=-1 не е решение. направи проверка за лявата страна

[garion]

ок. ако уравнението се промени на
[tex]x^{\frac{x+5}{2}}=1[/tex] ?

[ганка симеонова]

тогава -1 ще е решение, защото лявата страна добива вида:
[tex] (-1)^{2}=1[/tex]

[garion]

нима
А тогава колко е стойността на
[tex]f(x) = \frac{x(x+1)}{x}[/tex]
при x=0
и защо в едната задача първо делиш, а в другата - не

[ганка симеонова]

въобще не те разбрах. в коя задача първо деля, а в друга не? дай цитат и ще ти кажа

[garion]

ами когато се разглежда функцията [tex]f(x) = \frac{x(x+1)}{x}[/tex], първo се разглежда ДО х≠0 и тогава се съкращава. когато решаваме уравнението
[tex]x^{\frac{x+3}{2}}=1[/tex]
за случая x=-1 ти каза че не е решение, според мен защото съкращаваш и получаваш -1, но реално се получава[tex](-1)^{\frac{2}{2}}[/tex]. та въпроса ми е зaщо пък в този случай първо съкращаваш. а после степенуваш.
в този случай ако първо се степенува а после коренува, то се получава 1. Ако първо се коренува, то пък тогава се стига до неопредела стойност(в областта на реалните числа).
с уравнението
[tex]x^{\frac{x+5}{2}}=1[/tex]
нещата са наалогични само дето тогава като първо се съкрати, се получава че -1 е решение
Та цялото това го изписах за да обясня с примери, че трябва много да се внимава когато се решават показателни уравнения и се разглежда за основа отрицателно число

[ганка симеонова]

абе човек, за да разберешп, дали е решение, заместваш с -1, получаваш числа . аз не деля на х, а на число.

[garion]

[ганка симеонова]

което е(-1)^1=-1

[garion]

[garion]

защо [tex](-1)^{\frac{2}{2}}[/tex] не се разглежда като [tex](\sqrt{-1})^{2}[/tex] или като [tex]\sqrt({-1}^{2})[/tex]

[ганка симеонова]

ок, разбрах, какво имаш предвид. нооооооо, [tex] \sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n }}[/tex] е в сила за неотрицателни величини))

[garion]

ок мерси

[ганка симеонова]

няма защо, важното е човек да изясни проблема до край!

[complex]

Алгоритъма на Ганка е верен . Ето една задачка, която не мога да разбера вярно ли съм я решил или не.
[tex](x^2-7x+5)^{x^2-2x-15}=1[/tex]

[tex]DOx: x^2-7x+5>0 \Leftrightarrow x_{1/2}=\frac{7\pm \sqrt{29}}{2} \Leftrightarrow x\in (-\infty ; \frac{7 - \sqrt{29}}{2}) \cup (\frac{7+ \sqrt{29}}{2} ; +\infty )[/tex]
1сл.
[tex]x^2-2x-15=0 \Leftrightarrow x_{1,2}=-3; 5[/tex] Но х=5 не приднадлежи на ДО, пък го има в решенията в сборника.
2сл.
[tex]x^2-7x+5=1 \Leftrightarrow x_{3/4}=\frac{7\pm \sqrt{33}}{2} [/tex] Към тези корени нямам забележки.
3сл.
[tex]x^2-7x+5=-1 \Leftrightarrow x_{5/6}=\frac{13}{2}; 1 [/tex] x=1 не приднаделжи на ДО, пък го има в отговорите в сборника, x=13/2 пък приднадлежи на ДО пък го няма в отговорите на сборника.

[ганка симеонова]

основата е променлива величина, не е необходима д.о. не е задължително да е >0

[complex]

При такъв случай трябва да проверяваме, кои стойности не са решение ли?