Регистрирайте сеРегистрирайте се

Mножества от точки


 
   Форум за математика Форуми -> Триъгълници
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
M_Velinova
Фен на форума


Регистриран на: 04 Oct 2006
Мнения: 650
Местожителство: Sofia
Репутация: 75.8Репутация: 75.8
гласове: 21

МнениеПуснато на: Wed Oct 18, 2006 9:45 pm    Заглавие: Mножества от точки

Да се намери множеството от точки, лежащи вътре в равностранен триъгълник, с разстоянията на които до страните на триъгълника може да се построи триъгълник.

Vel
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
ianikia
Редовен


Регистриран на: 26 Feb 2006
Мнения: 124

Репутация: 31.9Репутация: 31.9Репутация: 31.9
гласове: 7

МнениеПуснато на: Thu Oct 19, 2006 6:28 pm    Заглавие:

Нека означим с х, y и z разстоянията от произволна точка М, вътрешна за равностранния тр. АВС със страна а, съответно до страните му ВС, СА и АВ. x>0, y>0, z>0 - това определя, че т.М не може да лежи на страните на триъг.АВС
Ще намерим най-напред множ. от точки, за които е изпълнено x+y>z (1)
Умножаваме двете страни с а/2. Имаме ах/2+ау/2>аz/2, т.е. S(BCM)+S(ACM)>S(ABM)
S(ABC)-S(ABM)>S(ABM)
S(ABC)>2S(ABM)
Основите на двата триъгълника съвпадат=>CH>2MH1 (CH - височината на АВС, а MH1 - височината на АВМ)
Нека правата СМ пресича страната АВ в т.Р. Тогава тр.СНР~тр.МН1Р и СН/МН1=СР/МР>2.
Ако т.М лежи на средната отсечка KL на тр. АВС (успоредна на АВ), то СР/МР=2.
За да е изпълнено СР/МР>2, точката М трябва да се намира 'под' KL. Т.е. тя е вътрешна точка за трапеца ABLK.
Аналогично намираме, че за да е изпълнено y+z>x (2), т.М трябва да е вътрешна за трапеца с основи ВС и успоредната на нея средна отсечка.
Както и за да е изп. x+z>y (3), М е вътр. за трапеца с основи АС и съотв. ср. отс.
За да съществува триъгълника, трябва да са изпълнени условията (1), (2) и (3)
Това означава да намерим общата част на трите трапеца.
Получаваме, че търсеното множество е вътрешността на триъгълника с върхове средите на страните на тр.АВС
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
M_Velinova
Фен на форума


Регистриран на: 04 Oct 2006
Мнения: 650
Местожителство: Sofia
Репутация: 75.8Репутация: 75.8
гласове: 21

МнениеПуснато на: Fri Oct 20, 2006 7:26 am    Заглавие:

Браво ianikia!

Решението, което си написал/а/ е много добро и логически последователно.
С приложение на лице на триъгълник има много интересни задачи.

Vel
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Lubo
Редовен


Регистриран на: 13 Aug 2006
Мнения: 237

Репутация: 35.4Репутация: 35.4Репутация: 35.4Репутация: 35.4
гласове: 10

МнениеПуснато на: Sat Oct 21, 2006 8:39 am    Заглавие: Разширение на задачата...

Това е една много, много интересна задача, Vel!

Нека разширим задачата за произволен триъгълник и за точки не само във вътрешността му, но където и да е в равнината.

Не като доказателство а само като 'навеждащи мисълта' чертежи вижте картинката по-долу. Червените точки изобразяват някои точките в равнината, за които разстоянията от безименната (видях, че съм забравил да й дам име) точка до правите линии (не отсечките) АВ, ВС и СА могат да формират триъгъкник.
Изглежда, че равнината е разделена на 4 триъгълни участъка (един краен - с върхове на страните на триъгълника АВС) и три безкрайни.

Дали това предположение е верно и ако е как могат да се намерят тези точки на страните на триъгълника...



Любо
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Lubo
Редовен


Регистриран на: 13 Aug 2006
Мнения: 237

Репутация: 35.4Репутация: 35.4Репутация: 35.4Репутация: 35.4
гласове: 10

МнениеПуснато на: Sat Oct 21, 2006 8:59 pm    Заглавие: Хипотеза направена чрез Geometer's Sketchpad софтуера

Хипотеза направена чрез Geometer's Sketchpad софтуера.

Множеството от точки в равнината, с разстоянията от тях до правите линии (АВ, ВС, СА) опредлящи един триъгълник (АВС) и такива, че с тези отсечки може да се построи друг триъгълник (STU) преставлява 4 тръгълни (една крайна и 3 безкрайни области - вижте плътните сини линии).

Тези области се определят от пресечните точки L, M и N на ъглополовящите AL, BM и CN (плътните зелени отсечки) със страните на първоначалния триъгълник (АВС) - ВС, АС и АВ съответно.

Верна ли е тази хипотеза? ...

Любо

Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
M_Velinova
Фен на форума


Регистриран на: 04 Oct 2006
Мнения: 650
Местожителство: Sofia
Репутация: 75.8Репутация: 75.8
гласове: 21

МнениеПуснато на: Tue Oct 24, 2006 8:00 pm    Заглавие: Множества от точки

Поздравления Любо!

Обобщението е страхотно! Наистина с Geometer's sketchpad могат да се правят много индуктивни изследвания.

И следват аналитичните доказателства!

За вътрешността на на триъгълника го доказах, ама за областите извън него нещо ми се изплъзва.

Vel
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
M_Velinova
Фен на форума


Регистриран на: 04 Oct 2006
Мнения: 650
Местожителство: Sofia
Репутация: 75.8Репутация: 75.8
гласове: 21

МнениеПуснато на: Wed Nov 08, 2006 7:58 am    Заглавие: Множества от точки

Здравей Любо!

Дай идея за доказателство за външните области.

Vel
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Lubo
Редовен


Регистриран на: 13 Aug 2006
Мнения: 237

Репутация: 35.4Репутация: 35.4Репутация: 35.4Репутация: 35.4
гласове: 10

МнениеПуснато на: Wed Nov 08, 2006 11:16 pm    Заглавие:

Zdravey i na teb Vel,

Ne sam imal vreme da mislya kak da dokazha tova predpolozhenie, koeto nay-veroyato e verno - pone experimentite s Geometer's Sketchpad software go potvarzhdavat.

No, kakto veche napisah po-gore - ne sam imal i veroyatno predi Kolednata vacation nyama da imam vreme. Novata mi rabota napravo me "ubiva" - nyamam nikakvo vreme za mathematica, GSP i t.n.t. Uzhasno stardam ot tova, no nyamam izbor. Zaplata si poluchavam ot rabotata si za sazhalenie )-:

Radvam se, che prez lyatoto popadnah na tozi Foru, ta pone ot vreme na vreme moga da vlizam v nego i da prochitam po nyakoya i druga hubava zadacha i predlozhenite za neya resheniya, no ne moga da namerya vreme az da se zahvana s nyakoya ot po-krasivite zadachi...

Lubo
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Триъгълници Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.