приложение на теоремата за резидуумите за сумиране на редове

[Infernum]

Разглеждат се редове от вида

[tex]\sum_{k=-\infty }^{ \infty }f(k)[/tex]

За функцията f се предполага, че има краен брой полюси z₁,...,z_m, които не са цели числа и е аналитична в областта от комплексната равнина, която не съдържа полюсите. Предполага се още, че е налице условието

[tex]\lim_{n \to \infty} \int_{|z|=n+\frac{1}{2}}\pi f(z) \cot \pi z dz =0.[/tex]

Тогава

[tex]\sum_{k=-\infty }^{ \infty }f(k)=-\sum_{k=1}^{m}Res(\pi f(z) \cot \pi z,\ z_k)[/tex]

Наистина, като се избере n толкова голямо, че всички полюси на функцията f да лежат във вътрешността на областта ограничена от окръжността [tex]|z|=n+\frac{1}{2}[/tex] и се приложи теоремата за резидуумите към интеграла, се получава

[tex]\int_{|z|=n+\frac{1}{2}}\pi f(z) \cot \pi z dz =2\pi i\left( \sum_{k=-n}^{n}Res(\pi f(z) \cot \pi z,\ k)+\sum_{k=1}^{m}Res(\pi f(z) \cot \pi z,\ z_k) \right)[/tex]

Тъй като

[tex]Res(\pi f(z) \cot \pi z,\ k)=\frac{\pi f(k) cos \pi k}{\pi cos \pi k}=f(k)[/tex]

и по условие

[tex]\lim_{n \to \infty} \int_{|z|=n+\frac{1}{2}}\pi f(z) \cot \pi z dz =0 \ ,[/tex]

то след граничен преход при n -> ∞ се получава равенството

[tex]0=\sum_{k=-\infty }^{ \infty }f(k)+\sum_{k=1}^{m}Res(\pi f(z) \cot \pi z,\ z_k) \ ,[/tex]

което доказва твърдението.

[Реклама]