Една полезна задача

[M_Velinova]

Нека k(O,r) е окръжност и около нея е описан произволен четириъгълник АBCD. Aко с M и N означим двете допирни точки върху срещулежащите страни BC и AD и K=MNxAC(x-пресечена), докажете че KC/KA=MC/AN.

[Реклама]

[silva89]

ето едно решение...
S(AKN)\S(MKC) = AK.NK\MK.KC
<ANK = < NMB = MN\2
<NMC = 180 - <NMB
sin(ANM) = sin( 180 - ANB)
S(AKN) \S(MKC) = AN.KN\KM.MC
AK.NK\MK.KC= AN.KN\KM.MC t.e.
KC\KA = MC\AN

Mogem da dopulnim zada4kata.... Da se dokage , 4e t. K legi na BD

[Futurolog]

Да прекараме права а през точка С успоредна на АD. Нека тази права пресича отсечката MN в точка Р. Нека също продълженията на страните АD и AC се пресичат в точка T. Тогава МТ и NТ са допирателни към вписаната окръжност, където М и Н са точките на допиране, следователно МТ=NТ. Оттук пък следва, че тр.МNТ е равнобедрен. Триъгиълник МРС е подобен на NМТ, тъй като имат взаимно успоредни страни (имаме две пресичащи се прави, които са пресечени от две други, успоредни прави). Следователно тр.МРС е равнобедрен и СМ=СР. Но също така тр.КРС е подобен на тр.КНС отново защото имат взаимно успоредни страни(отново имаме две пресичащи се прави, които са пресечени от две други, успоредни прави). Следователно КС/КА=РС/NА. Но понеже тр.МNР е равнобедрен, РС=МС. Така получаваме, че КС/КА=МС/АN.

И сега ако някой има желание, може да опита да докаже ето такова интересно следствие от горното твърдение (лесно е):
Ако АВ се допира до окръжността в точка Н, а СD в точка R, то четирите прави АC, BD, MN и RH се пресичат в една точка.

А може ли някой да докаже следното обобщение:
Ако вместо вписана окръжност имаме вписана елипса и означенията от преди останат същите, то отново четирите прави АC, BD, MN и RH се пресичат в една точка.