една задача от сборника на Чакърян-Сидеров....

[ганка симеонова]

Да се докаже, че за всяко реално число х е изпълнено неравенството:
[tex] 30x^{4}+18x^{2}-16x+3>0 [/tex]

[Реклама]

[ганка симеонова]

хайде кандидатстуденти, чакам да решите задачата

[cub]

при [tex]x=0 -> 3>0, x\neq 0[/tex]
[tex] \frac{g(x)}{x^{4} }>0 , x^{4}>0[/tex]
[tex] 30 + \frac{18}{x^{2} } -\frac{16}{x^{3} } +\frac{3}{x^{4} }>0[/tex]
[tex] f(u)=3u^{4}-16u^{3}+18u^{2}+30>0[/tex]
[tex]f' (u)=12u^{3}-3.16u^{2}+36u>0[/tex]
[tex] = 12u(u^{2}-4u+3)>0[/tex]
[tex] =12u(u-1)(u-3)>0[/tex]
намалява до u=0, расте до u=1,намалява до 3, после расте. минимуми са 0 и 3

[tex] \lim_{u\to\0}f(u)>0[/tex]
[tex] f(3)= 5 >0[/tex]
[tex] f(u)>0 => g(x)>0[/tex]